Supongamos tenemos una cuatrupla \((A,f,g,R)\) tal que \(A\) es un conjunto no vacío, \(f\) y \(g\) son operaciones binarias sobre \(A\) y \(R\) es una relación binaria sobre \(A\), pero no sabemos nada acerca de estas operaciones \(f\) y \(g\) ni de la relación \(R\). Es decir tenemos una “estructura” del mismo tipo que los reticulados cuaterna pero obviamente no tiene por que ser un reticulado cuaterna. De todas maneras, podemos hablar de cuando una fórmula elemental de reticulados cuaterna es verdadera en \((A,f,g,R)\) para una asignación de valores de \(A\) a sus variables libres y sus nombres de elementos fijos. Simplemente debemos interpretar a \(\mathsf{s}\) como \(f\), a \(\mathsf{i}\) como \(g\) y a \(\leq\) como \(R\) y “leer” dicha fórmula interpretando además sus variables libres y nombres de elementos fijos según la asignación dada. Dicho en pocas palabras, las fórmulas elementales de reticulados cuaterna se pueden interpretar no solo en los reticulados cuaterna sino también en cualquier “estructura del mismo tipo”.
Veamos algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix La fórmula elemental de reticulados cuaterna \((x\leq y)\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{R},+,-,\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}:x+1=y\})\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(10\) y a \(y\) el valor \(11\). Esto es ya que interpretamos a \(\leq\) como la relación \(\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}:x+1=y\}\). Cabe destacar que \((\mathbf{R},+,-,\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}:x+1=y\})\) no es un reticulado cuaterna (por que?)
adhocprefix(E2)adhocsufix La fórmula elemental de reticulados cuaterna \(((x\;\mathsf{s\;}x)=x)\) es falsa en la estructura \((\mathbf{R},+,-,\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}:x+1=y\})\) cuando le asignamos a \(x\) cualquier valor no nulo. Esto es ya que interpretamos a \(\mathsf{s}\) como la operación \(+\).
adhocprefix(E3)adhocsufix La sentencia elemental de reticulados cuaterna \(\exists y((y\;\mathsf{s\;}y)=y)\) es falsa en la estructura \((\mathbf{N},+,+,|)\) (la cual tampoco es un reticulado cuaterna).
adhocprefix(E4)adhocsufix La fórmula elemental de reticulados cuaterna \(((a\;\mathsf{s\;}y)=(a\;\mathsf{i\;}y))\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{N},+,+,|)\) cualquiera sea la asignación de valores a \(a\) y a \(y\).
adhocprefix(E5)adhocsufix La sentencia elemental de reticulados cuaterna \(\forall x((x\leq x)\rightarrow\forall z((z\;\mathsf{i\;}x)=x))\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{R},+,.,\{(0,0)\})\)
adhocprefix(E6)adhocsufix La sentencia elemental de reticulados cuaterna \(\forall x(\lnot(x=a)\rightarrow\exists y((x\;\mathsf{i\;}y)=b))\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{R},+,.,\{(0,0)\})\) cuando le asignamos a \(a\) el valor \(0\) y a \(b\) el valor \(1\).
Por supuesto podemos hacer el mismo tipo de generalización para cada uno de los tipos de estructuras que venimos manejando. Por ejemplo si tenemos un par \((A,R)\) tal que \(A\) es un conjunto no vacío cualquiera y \(R\) es una relación binaria sobre \(A\) (cualquier relación binaria, no necesariamente un orden parcial) podemos hablar de cuando una fórmula elemental de posets es verdadera en \((A,R)\) para una asignación de valores de \(A\) a sus variables libres y sus nombres de elementos fijos. Simplemente debemos interpretar a \(\leq\) como \(R\) y “leer” dicha fórmula interpretando además sus variables libres y nombres de elementos fijos según la asignación dada. Algunos ejemplos
adhocprefix(E7)adhocsufix La fórmula elemental de posets \((x\leq y)\) es falsa en la estructura \((\mathbf{R},\mathbf{R}\times\omega)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(0\) y a \(y\) el valor \(1/2\). Esto es ya que interpretamos a \(\leq\) como la relación \(\mathbf{R}\times\omega\). Cabe destacar que \((\mathbf{R},\mathbf{R}\times\omega)\) no es un poset (por que?)
adhocprefix(E8)adhocsufix La sentencia elemental de posets \(\exists y\forall x(x\leq y)\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{N},\{(n,5):n\in\mathbf{N}\})\) (la cual tampoco es un poset).
Otros ejemplos para los otros tipos de estructuras:
adhocprefix(E9)adhocsufix La sentencia elemental de reticulados complementados \((\forall x\exists y((y\;\mathsf{s\;}y)=c(x))\) es falsa en la estructura \((\mathbf{R},-,+,\{(x,x^{2}):x\in\mathbf{R}\},5,100)\) (la cual no es un reticulado complementado). Esto es ya que interpretamos a \(\mathsf{s}\) como la operación \(-\) sobre los reales y a \(c\) como la función \(\{(x,x^{2}):x\in\mathbf{R}\}\) y por lo tanto \((\forall x\exists y((y\;\mathsf{s\;}y)=c(x))\) “dice” que para cada número real \(x\) hay un número real \(y\) tal que \(y-y=x^{2}\), lo cual sabemos que es falso.
adhocprefix(E10)adhocsufix La fórmula elemental de grafos bicoloreados \((R(z)\wedge\exists xr(a,x))\) es verdadera en la estructura \((\mathbf{R},\{(1,1),(3,4)\},\{5,6,7,8,9,10\})\) (la cual no es un grafo bicoloreado) cuando le asignamos a \(z\) el valor \(10\) y a \(a\) el valor 3. Esto es ya que interpretamos a \(r\) como la relación binaria \(\{(1,1),(3,4)\}\) y a \(R\) como la relación 1-aria \(\{5,6,7,8,9,10\}\).
adhocprefix(E11)adhocsufix Sea \(g:\mathbf{R}^{3}\rightarrow\mathbf{R}\) dada por \(g(x,y,z)=1,\text{ para cada }(x,y,z)\in\mathbf{R^{3}}\). La sentencia elemental de median algebras \(\forall x\exists y\exists z\exists w(M(y,z,w)=x)\) es falsa en la estructura \((\mathbf{R},g)\) (la cual no es una median algebra). Esto es ya que interpretamos a \(M\) como la operación \(g\) y es claro que entonces \(\forall x\exists y\exists z\exists w(M(y,z,w)=x)\) no se cumple en \((\mathbf{R},g)\) puesto que por ejemplo para \(x=2\) tenemos que no hay \(y,z,w\in\mathbf{R}\) tales que \(g(y,z,w)=x\). Nótese que por el tercer axioma de median algebras la sentencia \(\forall x\exists y\exists z\exists w(M(y,z,w)=x)\) es cierta en toda median algebra.