Ya se observó que para el caso de los reticulados cuaterna no hay una sentencia elemental pura \(\varphi\) de reticulados cuaterna la cual cumpla que es verdadera en un reticulado cuaterna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},\leq)\) si y solo si \(L\) es un conjunto finito. Lo mismo sucede para todos los otros tipos de estructuras, es decir nunca se puede con una sentencia elemental pura decir que la estructura tenga universo finito. O sea en general es muy común que no se pueda decir cierta propiedad por medio de una fórmula o sentencia elemental. Esto habla en algún sentido del poco poder expresivo que tienen las fórmulas elementales lo cual es razonable por lo “elementales” y en algún sentido “finitarias” que son. Veamos algunos ejemplos mas de limitaciones del poder expresivo de las fórmulas elementales:
adhocprefix(E1)adhocsufix No hay una fórmula elemental pura \(\varphi\) de grafos la cual tenga a \(x\) e \(y\) como sus únicas variables libres y la cual cumpla que, dado un grafo cualquiera \((G,r)\) y elementos \(g_{1}\) y \(g_{2}\) de \(G\), sean equivalentes las siguientes propiedades:
adhocprefix-adhocsufix \(\varphi\) es verdadera en \((G,r)\) cuando asignamos a \(x\) el valor \(g_{1}\) y a \(y\) el valor \(g_{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \(g_{1}\) y \(g_{2}\) están en la misma componente conexa de \((G,r)\)
Es decir no hay una fórmula elemental pura \(\varphi\) de grafos la cual “diga” \(x\) e \(y\) están en la misma componente conexa
adhocprefix(E2)adhocsufix No hay una fórmula elemental pura \(\varphi\) de posets la cual tenga a \(x\) e \(y\) como sus únicas variables libres y la cual cumpla que, dado un poset cualquiera \((P,\leq)\) y elementos \(p_{1}\) y \(p_{2}\) de \(P\), sean equivalentes las siguientes propiedades:
adhocprefix-adhocsufix \(\varphi\) es verdadera en \((P,\leq)\) cuando asignamos a \(x\) el valor \(p_{1}\) y a \(y\) el valor \(p_{2}\)
adhocprefix-adhocsufix El intervalo \(\{p\in P:p_{1}\leq p\leq p_{2}\}\) es un conjunto finito
Es decir no hay una fórmula elemental pura \(\varphi\) de posets (la cual tenga a \(x\) e \(y\) como sus únicas variables libres) la cual “diga” el intervalo \([x,y]\) es finito.
adhocprefix(E3)adhocsufix Los reticulados terna \((\mathbf{R},max,min)\) y \((\mathbf{Q},max,min)\) son indistinguibles usando sentencias elementales, i.e. si \(\varphi\) es una sentencia elemental pura de reticulados terna, entonces \(\varphi\) es veradera en \((\mathbf{R},max,min)\) si y solo si \(\varphi\) es veradera en \((\mathbf{Q},max,min)\).
adhocprefix(E4)adhocsufix No hay una sentencia elemental pura \(\varphi\) de reticulados terna la cual sea verdadera en un reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) si y solo si \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es isomorfo al reticulado terna \((\mathbf{R},max,min)\). Esto se puede deducir del ejemplo anterior ya que \((\mathbf{R},max,min)\) y \((\mathbf{Q},max,min)\) no pueden ser isomorfos porque no existe una biyeccion entre \(\mathbf{R}\) y \(\mathbf{Q}\).
Lo mas común es que si una propiedad involucra infinitos chequeos no se pueda “decir” por medio de una fórmula elemental. Las imposibilidades dadas en (E1) y (E2) pueden ser justificadas usando el Teorema de Compacidad que veremos mas adelante. (E3) puede ser probado via un razonamiento inductivo pero requiere cierta destreza.