En la Sección de Reticulados Cuaterna del capítulo anterior desarrollamos a manera intuitiva un tipo de fórmulas y pruebas muy particulares asociadas con los reticulados cuaterna. Les llamamos fórmulas elementales y pruebas elementales por lo básicas y simples que son. En este capítulo haremos lo mismo con las otras estructuras que venimos trabajando y con algunas nuevas. Esto dejara el terreno listo para hacer en el capítulo siguiente un tratamiento general del concepto de estructura y su lenguaje elemental.
Tal como para el caso de los reticulados cuaterna, nuestras definiciones de fórmula elemental y prueba elemental para estos otros tipos de estructuras no serán del todo precisas matemáticamente hablando. Esto no nos afectará ya que en esta etapa lo que nos importa es manejar en forma intuitiva dichos conceptos.
Las estructuras que hemos estudiado en el Capítulo Estructuras Algebraicas Ordenadas son todas de un formato similar, a saber uplas formadas por una primera coordenada que es un conjunto no vacío (llamado el universo de la estructura) y luego ciertas relaciones, operaciones y elementos distinguidos, dependiendo del caso. Otra cosa importante a notar es que para cada tipo de estructura hay ciertos símbolos fijos que usamos en forma genérica para denotar sus relaciones, operaciones y elementos distinguidos. Por ejemplo:
adhocprefix-adhocsufix Para los posets usamos el símbolo \(\leq\) para denotar su relación binaria de orden parcial en un sentido genérico (este tipo de estructuras no tiene operaciones ni elementos distinguidos).
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados terna usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e ínfimo (este tipo de estructuras no tiene relaciones ni elementos distinguidos).
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados acotados usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e ínfimo y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber mínimo y máximo respectivamente.
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados complementados usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e ínfimo, el símbolo \(c\) para denotar su operación unaria de complementación y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber mínimo y máximo respectivamente.
adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados cuaterna usamos en forma genérica los símbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e ínfimo y el símbolo \(\leq\) para denotar su relación binaria de orden parcial.
En el caso de los reticulados cuaterna, estos símbolos genéricos \(\mathsf{s}\), \(\mathsf{i}\) y \(\leq\) son justamente los que intervienen (aparte de ciertos símbolos clásicos) en la construcción de las fórmulas elementales. Es decir que para dar nuestra definición de fórmula elemental para alguno de estos otros tipos de estructura, usaremos la misma idea, es decir serán aquellas fórmulas que se pueden construir (de forma adecuada) usando solo los símbolos genéricos del tipo de estructura en cuestión mas símbolos de la siguiente lista de símbolos clásicos:
adhocprefix-adhocsufix \(\forall\ \exists\;\lnot\;\vee\;\wedge\;\rightarrow\;\leftrightarrow\;(\;,\;)\;=\)
adhocprefix-adhocsufix \(x,y,z,w,...\)
adhocprefix-adhocsufix \(a,b,c,d,...\)
A continuación iremos viendo los distintos casos (algunos quedaran como ejercicios) y agregaremos también tres tipos de estructuras mas para hacer mas general aun nuestra perspectiva del tema.