En el Capítulo Estructuras Algebraicas Ordenadas nos focalizamos en aprender álgebra con la intención de volvernos lo mas "algebristas profesionales" que podamos. Para esto fuimos exigentes a la hora de delimitar y manejar nuestro lenguaje matemático y también a la hora de hacer pruebas pusimos mucha atención en hacerlas "perfectas" en el sentido de que sean similares a las que haría un algebrista formado.
Pero para que hicimos esto? Muy simple: la lógica matemática es matemática aplicada al estudio de los matemáticos, su lenguaje y sus métodos de demostración, y que mas cómodo para hacer lógica matemática que contar con un matemático dentro de uno mismo para estudiarlo! Tal como
adhocprefix-adhocsufix un biólogo estudia la estructura y funcionamiento de los seres vivos
adhocprefix-adhocsufix un astrónomo estudia los cuerpos celestes
adhocprefix-adhocsufix un físico estudia la materia y su comportamiento
un lógico matemático estudia con herramientas matemáticas a los mismos matemáticos en cuanto a sus características en su rol haciendo matemática. Es decir nos interesa dar un modelo matemático que describa en forma matemática precisa el funcionamiento de un matemático en cuanto a su lenguaje y sus métodos de demostración. Pero algo debe quedar muy claro: haremos matemática aplicada, es decir, no es nuestra intención decirle a un matemático como debe razonar! Todo lo contrario, sabemos que los matemáticos profesionales actuales razonan correctamente y que su estilo de prueba es correcto, dado el avanzado estado actual de la disciplina. Simplemente los estudiaremos con herramientas matemáticas para tratar de dar una descripción matemática de su lenguaje y de sus métodos de demostración.
Por supuesto hacer lógica matemática puede ser muy difícil o escurridizo ya que como todos sabemos los matemáticos tienen métodos difíciles de entender y un lenguaje verdaderamente complicado.
La forma en la que encararemos el problema será la siguiente. En lugar de estudiar a un matemático en su actividad real crearemos un "contexto matemático simplificado" en el cual también tenga sentido hacer matemática profesional y luego estudiaremos a un matemático haciendo matemática en este contexto. Por supuesto esto baja mucho el nivel de nuestra ambición científica como lógicos matemáticos ya que en lugar de estudiar a los matemáticos en su vida real, los estudiaremos en un contexto simplificado. Sin embargo nuestra simplificación no nos hará perder generalidad y los resultados obtenidos darán un modelo matemático fidedigno y completo del quehacer matemático real. Este hecho es uno de los logros mas importantes de la ciencia moderna. Cabe destacar que una ves aprendidos los contenidos de lógica básicos (parte de este capítulo pero no en su totalidad), si agregamos un curso básico de teoría de conjuntos axiomática, estaremos en condiciones de apreciar a pleno el logro intelectual que significa dar un modelo matemático pasmosamente fidedigno de la matemática misma.
Para crear este "contexto matemático simplificado" nos servirán los conceptos de lenguaje elemental y prueba elemental. Mas concretamente fijaremos un tipo de estructura, por ejemplo los reticulados cuaterna, y estudiaremos a un matemático profesional haciendo matemática en este contexto elemental. Es decir le pediremos que realice pruebas de propiedades que valgan en todos los reticulados cuaterna pero lo restringiremos en su lenguaje, es decir le pediremos que se restrinja a usar solo fórmulas elementales de reticulados cuaterna y que las pruebas que realice sean también elementales de reticulados cuaterna. El matemático rápidamente entenderá la consigna y posiblemente refunfuñe un poco porque claramente lo estamos restringiendo mucho en relación a su manera de hacer matemática (por ejemplo no podrá hablar de filtros primos, etc). De todas maneras las posibilidades de hacer matemática profunda e interesante aun con esta restricción son inmensas, es decir hay verdades de reticulados cuaterna que son elementales en enunciado y prueba pero son extremadamente difíciles, ingeniosas y profundas.
En este proyecto de hacer lógica matemática estudiando a un matemático haciendo matemática elemental de reticulados cuaterna hay varias cosas para hacer y las establecemos a continuación.
Programa de lógica matemática sobre reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar un modelo matemático del concepto de fórmula elemental de reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar una definición matemática de cuando una fórmula elemental es verdadera en un reticulado cuaterna dado, para una asignación dada de valores a las variables libres y a los nombres de elementos fijos de dicha fórmula elemental
adhocprefix-adhocsufix (Plato gordo) Dar un modelo matemático del concepto de prueba elemental de reticulados cuaterna. A estos objetos matemáticos que modelizaran a las pruebas elementales de los matemáticos los llamaremos pruebas formales de reticulados cuaterna.
adhocprefix-adhocsufix (Sublime) Intentar probar matemáticamente que nuestro concepto de prueba formal de reticulados cuaterna es una correcta modelización matemática del concepto intuitivo de prueba elemental de reticulados cuaterna.
Como veremos, los cuatro puntos anteriores pueden ser hechos satisfactoriamente y constituyen el comienzo de la lógica matemática con cuantificadores. Cabe aclarar que la realización del cuarto punto es realmente sorprendente ya que es un caso de una prueba matemática rigurosa de un enunciado que involucra un concepto intuitivo como lo es el de prueba elemental.
Ya que la realización de los 4 puntos anteriores no depende en absoluto de que hayamos elegido el tipo de estructura de los reticulados cuaterna (es decir, el desarrollo que resuelve los 4 puntos anteriores para los reticulados cuaterna puede adaptarse fácilmente para cualquiera de los otros tipos de estructuras descriptos en el Capítulo Estructuras y su Lenguaje Elemental), haremos las cosas con mas generalidad.
Primero, basados en dicho capítulo, generalizaremos el concepto de estructura. La generalización que daremos del concepto de estructura es realmente muy amplia y nos llevara mucho trabajo de entrenamiento poder manejarla con madurez y naturalidad. Luego, estableceremos para un tipo genérico de estructura el programa de lógica arriba escrito para el caso particular de los reticulados cuaterna. En las subsiguientes secciones nos dedicaremos a resolver dicho programa general.