Asumiremos que el lector tiene una idea intuitiva del concepto de función. Daremos aquí una definición matemática de dicho concepto. Una función es un conjunto \(f\) de pares ordenados con la siguiente propiedad
adhocprefix(F)adhocsufix Si \((x,y)\in f\) y \((x,z)\in f\), entonces \(y=z\).
Por ejemplo, si tomamos \(f=\{(x,x^{2}):x\in\omega\}\) se puede ver fácilmente que \(f\) cumple la propiedad (F). Otro ejemplo, \(f=\{(x,1):x\in\{1,6,18\}\}\) es una función.
Dada una función \(f\), llamaremos dominio de \(f\) al conjunto \[\{x:(x,y)\in f\text{ para algún }y\}\] y lo denotaremos con \(D_{f}\) o \(\mathrm{Dom}(f)\).
Llamaremos imagen de \(f\) al conjunto \[\{y:(x,y)\in f\text{ para algún }x\}\] y la denotaremos con \(I_{f}\) o \(\mathrm{Im}(f)\). Nótese que \(\emptyset\) es una función y que \(D_{\emptyset}=I_{\emptyset}=\emptyset\). Si \(f=\{(x,x^{2}):x\in\omega\}\) se tiene que \(D_{f}=\omega\) y \(I_{f}=\{y:y=x^{2}\) para algún \(x\in\omega\}\). Si \(f=\{(x,1):x\in\{1,6,18\}\}\), entonces \(D_{f}=\{1,6,18\}\) y \(I_{f}=\{1\}\).
Convención Notacional 1: Como es usual, dado \(x\in D_{f}\), usaremos \(f(x)\) para denotar al único \(y\in I_{f}\) tal que \((x,y)\in f\). Por ejemplo, si \(f=\{(x,x^{2}):x\in\omega\}\) se tiene que \(f(x)=x^{2}\), para cada \(x\in D_{f}=\omega\).
Convención Notacional 2: Escribiremos \(f:S\subseteq A\rightarrow B\) para expresar que \(f\) es una función tal que \(D_{f}=S\subseteq A\) y \(I_{f}\subseteq B\). También escribiremos \(f:A\rightarrow B\) para expresar que \(f\) es una función tal que \(D_{f}=A\) y \(I_{f}\subseteq B\). En tal contexto llamaremos a \(B\) conjunto de llegada. Por supuesto \(B\) no esta determinado por \(f\) ya que solo debe cumplir \(I_{f}\subseteq B\). Es decir que cualquier conjunto \(B\) que contenga a \(I_{f}\) puede ser considerado conjunto de llegada de \(f\).
Convención Notacional 3: Muchas veces para definir una función \(f\), lo haremos dando su dominio y su regla de asignación, es decir especificaremos en forma precisa que conjunto es el dominio de \(f\) y además especificaremos en forma precisa quien es \(f(x)\) para cada \(x\) de dicho dominio. Obviamente esto determina por completo a la función \(f\) ya que siempre se da que \(f=\{(x,f(x)):x\in D_{f}\}\). Por ejemplo si decimos que \(f\) es la función dada por: \[\begin{aligned} D_{f} & =\omega\\ f(x) & =23x^{2} \end{aligned}\] nos estaremos refiriendo a la función \(\{(x,23x^{2}):x\in\omega\}\). También escribiremos \[\begin{array}{rll} f:\omega & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & 23x^{2} \end{array}\] para describir a \(f\). Es decir, a veces para hacer mas intuitiva aun la descripción de la función, también incluiremos un conjunto de llegada de dicha función y a la regla de asignación la escribiremos usando una flecha. Para dar otro ejemplo, si escribimos sea \(f\) dada por: \[\begin{array}{rll} f:\mathbf{N} & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{ccc} x+1 & & \text{si }x\text{ es par}\\ x^{2} & & \text{si }x\text{ es impar} \end{array}\right. \end{array}\] estaremos diciendo que \(f\) es la función \[\{(x,x+1):x\text{ es par y }x\in\mathbf{N}\}\cup\{(x,x^{2}):x\text{ es impar y }x\in\mathbf{N}\}\]
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones. Ya que las mismas son conjuntos, tendremos que \(f\) será igual a \(g\) si y solo si para cada par \((a,b)\), se tiene que \((a,b)\in f\) sii \((a,b)\in g\). Muchas veces será útil el siguiente criterio de igualdad de funciones:
1.1. Sean \(f\) y \(g\) funciones. Entonces \(f=g\) sii \(D_{f}=D_{g}\) y para cada \(x\in D_{f}\) se tiene que \(f(x)=g(x)\)
Proof. \((\Rightarrow)\) Es obvio.
\((\Leftarrow)\) Supongamos que \(D_{f}=D_{g}\) y que para cada \(x\in D_{f}\) se tiene que \(f(x)=g(x)\). Sea \((a,b)\in f\). La Convención Notacional 1 nos dice que \(f(a)=b\). Ya que \(a\in D_{f}\) y \(D_{f}=D_{g}\), tenemos que \(a\in D_{g}\). Ya que \(f(a)=g(a)\), tenemos que \(g(a)=b\). Pero entonces la Convención Notacional 1 nos dice que \((a,b)\in g\).
En forma similar se prueba que si \((a,b)\in g\), entonces \((a,b)\in f\), con lo cual se tiene que \(f=g\).
Dado un conjunto \(A\), a la función \[\begin{array}{rll} A & \rightarrow & A\\ a & \rightarrow & a \end{array}\] La denotaremos con \(Id_{A}\) y la llamaremos la función identidad sobre \(A\). Nótese que \(Id_{A}=\{(a,a):a\in A\}\).
Dadas funciones \(f\) y \(g\) definamos la función \(f\circ g\) de la siguiente manera: \[\begin{aligned} D_{f\circ g} & =\{e\in D_{g}:g(e)\in D_{f}\}\\ f\circ g(e) & =f(g(e)) \end{aligned}\] Nótese que \[f\circ g=\{(e,f(g(e))):e\in D_{g}\text{ y }g(e)\in D_{f}\}\] (ver Convención Notacional 3). Veamos un ejemplo. Si \(f\) es dada por \[\begin{array}{rll} f:\mathbf{N} & \rightarrow & \{@,\%\}^{*}\\ x & \rightarrow & @\%^{x}@ \end{array}\] y \(g\) es dada por \[\begin{array}{rll} g:\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & x^{2} \end{array}\] entonces tenemos que \(f\circ g\) es la función \[\begin{array}{rll} f\circ g:\{x\in\mathbf{R}:x^{2}\in\mathbf{N}\} & \rightarrow & \{@,\%\}^{*}\\ x & \rightarrow & @\%^{x^{2}}@ \end{array}\]
1.2. Sean \(f,g\) funciones cualesquiera. Entonces:
adhocprefix(1)adhocsufix \(f\circ g=\{(u,v):\) existe \(z\) tal que \((u,z)\in g\) y \((z,v)\in f\}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(f\circ g\neq\emptyset\) si y solo si \(I_{g}\cap D_{f}\neq\emptyset\), lo cual nos dice que muchas veces sucederá que \(f\circ g=\emptyset\).
Proof. (1). Sea \[A=\{(u,v):\text{ existe }z\text{ tal que }(u,z)\in g\text{ y }(z,v)\in f\}\] Ya que por definición \(f\circ g=\{(e,f(g(e))):e\in D_{g}\text{ y }g(e)\in D_{f}\}\) debemos probar que \[\{(e,f(g(e))):e\in D_{g}\text{ y }g(e)\in D_{f}\}=A\] Supongamos entonces que \((u,v)\in\{(e,f(g(e))):e\in D_{g}\text{ y }g(e)\in D_{f}\}\). Se tiene que \(u\in D_{g}\text{, }g(u)\in D_{f}\text{ y }v=f(g(u))\). Es claro que tomando \(z=g(u)\) se cumple la condición que define a \(A\), por lo cual hemos probado que \((u,v)\in A\). Recíprocamente supongamos que \((u,v)\in A\). O sea que hay un \(z\) tal que \((u,z)\in g\text{ y }(z,v)\in f\). Esto nos dice que \(u\in D_{g}\), \(z\in D_{f}\), \(z=g(u)\) y \(v=f(z)\). O sea que \((u,v)=(u,f(z))=(u,f(g(u))\) y como \(u\in D_{g}\text{ y }g(u)\in D_{f}\), tenemos que \((u,v)\in\{(e,f(g(e))):e\in D_{g}\text{ y }g(e)\in D_{f}\}\).
(2). Si \(f\circ g\neq\emptyset\), entonces \(D_{f\circ g}\) debe ser no vacío. Pero por definición tenemos que \(D_{f\circ g}=\{e\in D_{g}:g(e)\in D_{f}\}\). Es decir que existe un \(e\in D_{g}\) tal que \(g(e)\in D_{f}\). Obviamente \(g(e)\in I_{g}\cap D_{f}\), por lo cual \(I_{g}\cap D_{f}\neq\emptyset\). Recíprocamente supongamos que \(I_{g}\cap D_{f}\neq\emptyset\). Sea \(x_{0}\) un elemento de \(I_{g}\cap D_{f}\). Ya que \(x_{0}\in I_{g}\) tenemos que hay un \(e_{0}\in D_{g}\) tal que \(x_{0}=g(e_{0})\). Notar que entonces por definición de \(D_{f\circ g}\) tenemos que \(e_{0}\in D_{f\circ g}\). Esto claramente dice que \(f\circ g\neq\emptyset\).
A la hora de probar enunciados acerca de funciones hay una regla o idea básica que si la tenemos en cuenta nos facilitara la construcción de la prueba.
Regla Pertenecer a la Imagen: Si \(f\) es una función y Ud sabe que \(b\in I_{f}\), entonces escriba a \(b\) en la forma \(f(a)\) donde \(a\) denotará un elemento fijo de \(D_{f}\) tal que \(f(a)=b\)
Tener esta regla en mente es de suma utilidad al hacer pruebas. Por ejemplo el lector puede notar que fue usada tácitamente en la prueba de (2) del lema anterior.
Cabe destacar que esta regla aquí es simplemente un consejo o sugerencia pero gana su existencia material en un entorno de inteligencia artificial al transformarse en parte de la estructura de un probador automático de teoremas!
Una función \(f\) es inyectiva cuando no se da que \(f(a)=f(b)\) para algún par de elementos distintos \(a,b\in D_{f}\). Dicho de otra manera, \(f\) será inyectiva cuando se de la implicación \[f(a)=f(b)\text{ implica }a=b\] cualesquiera sean \(a,b\in D_{f}.\) Dada una función \(f:A\rightarrow B\) diremos que \(f\) es suryectiva cuando \(I_{f}=B\). Debe notarse que el concepto de suryectividad depende de un conjunto de llegada previamente fijado, es decir que no tiene sentido hablar de la suryectividad de una función \(f\) si no decimos respecto de que conjunto de llegada lo es. Muchas veces diremos que una función \(f\) es sobre para expresar que es suryectiva.
Dada una función \(f:A\rightarrow B\) diremos que \(f\) es biyectiva cuando \(f\) sea inyectiva y suryectiva. También diremos que \(f\) es una biyección de \(A\) en \(B\) cuando \(f:A\rightarrow B\) sea biyectiva.
Nótese que si \(f:A\rightarrow B\) es biyectiva, entonces para cada \(b\in B\) hay un único \(a\in A\) tal que \(f(a)=b.\) Entonces cuando \(f:A\rightarrow B\) es biyectiva podemos definir una nueva función \(f^{-1}:B\rightarrow A\), de la siguiente manera: \[f^{-1}(b)=\text{ único }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\] La función \(f^{-1}\) será llamada la inversa de \(f\). Nótese que \(f\circ f^{-1}=Id_{B}\) y \(f^{-1}\circ f=Id_{A}\). El siguiente lema muestra que esta última propiedad caracteriza la inversa.
1.3. Supongamos \(f:A\rightarrow B\) y \(g:B\rightarrow A\) son tales que \(f\circ g=Id_{B}\) y \(g\circ f=Id_{A}\). Entonces \(f\) y \(g\) son biyectivas, \(f^{-1}=g\) y \(g^{-1}=f\).
Proof. Veamos que \(f\) es inyectiva. Supongamos \(f(a)=f(b)\), con \(a,b\in A\). Entonces \(g(f(a))=g(f(b))\). O sea que \(g\circ f(a)=g\circ f(b)\). Pero \(g\circ f=Id_{A}\) por lo cual obtenemos que \(a=b.\) Veamos que \(f\) es suryectiva. Sea \(b\in B.\) Ya que \(f\circ g=Id_{B}\) tenemos que \(f(g(b))=b\) lo cual nos dice que \(b\in I_{f}.\) Esto prueba que \(I_{f}=B\) por lo cual \(f\) es suryectiva. Veamos que \(f^{-1}=g\). Lo haremos aplicando el Lema 1.1. Por la definición de \(f^{-1}\) tenemos que \(D_{f^{-1}}=B=D_{g}\). Sea \(b\in B\). Veamos que \(f^{-1}(b)=g(b)\). Por definición de \(f^{-1}\) tenemos que \[f^{-1}(b)=\text{ unico }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\] Pero sabemos que \(f(g(b))=b\) (ya que \(f\circ g=Id_{B}\)), por lo cual la unicidad nos asegura que \(f^{-1}(b)=g(b)\). Esto concluye la prueba de que \(f^{-1}=g\).
La prueba de que \(b\) es biyectiva y que \(g^{-1}=f\) es completamente análoga.
Dada una función \(f:A\rightarrow B\), definamos: \[\ker(f)=\{(a,b)\in A^{2}:f(a)=f(b)\}\] El conjunto \(\ker(f)\) será llamado el núcleo de \(f\). Nótese que \(f\) es inyectiva si y solo si \(\ker(f)=\{(a,a):a\in A\}\). Cabe destacar que \(\ker(f)\) es una relación de equivalencia muy importante asociada a la función \(f\).
Sea \(X\) un conjunto cualquiera y sea \(S\subseteq X\). Usaremos \(\chi_{S}^{X}\) para denotar la función \[\begin{array}{rcl} \chi_{S}^{X}:X & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} 1\text{ si }x\in S\\ 0\text{ si }x\notin S \end{array}\right. \end{array}\] Llamaremos a \(\chi_{S}^{X}\) la función característica de \(S\) con respecto a \(X\). Muchas veces cuando el conjunto \(X\) este fijo y sea claro el contexto, escribiremos \(\chi_{S}\) en lugar de \(\chi_{S}^{X}\).
Dada una función \(f\) y un conjunto \(S\subseteq D_{f}\), usaremos \(f|_{S}\) para denotar la restricción de \(f\) al conjunto \(S\), i.e. \(f|_{S}=f\cap(S\times I_{f})\). Nótese que \(f|_{S}\) es la función dada por \[\begin{aligned} D_{f|_{S}} & =S\\ f|_{S}(e) & =f(e)\text{, para cada }e\in S \end{aligned}\] Nótese que cualesquiera sea la función \(f\) tenemos que \(f|_{\emptyset}=\emptyset\) y \(f|_{D_{f}}=f\).
Dadas funciones \(f_{1},...,f_{n}\), con \(n\geq2\), definamos la función \([f_{1},...,f_{n}]\) de la siguiente manera: \[\begin{aligned} D_{[f_{1},...,f_{n}]} & =D_{f_{1}}\cap...\cap D_{f_{n}}\\{} [f_{1},...,f_{n}](e) & =(f_{1}(e),...,f_{n}(e)) \end{aligned}\] Nótese que \(I_{[f_{1},...,f_{n}]}\subseteq I_{f_{1}}\times\cdots\times I_{f_{n}}\). Por conveniencia notacional (que el lector entenderá mas adelante) definiremos \([f_{1}]=f_{1}\). Es decir que hemos definido para cada sucesión de funciones \(f_{1},...,f_{n}\), con \(n\geq1\), una nueva función la cual denotamos con \([f_{1},...,f_{n}]\).
Una observación interesante es que si \(f_{i}:A_{i}\rightarrow B_{i}\), \(i=1,...,k\), son funciones tales que \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) para \(i\neq j\), entonces el conjunto \(f_{1}\cup...\cup f_{k}\) es una función, mas concretamente la siguiente función: \[\begin{array}{rll} A_{1}\cup...\cup A_{k} & \rightarrow & B_{1}\cup...\cup B_{k}\\ e & \rightarrow & \left\{ \begin{array}{clc} f_{1}(e) & & \text{si }e\in A_{1}\\ \vdots & & \vdots\\ f_{k}(e) & & \text{si }e\in A_{k} \end{array}\right. \end{array}\] Se suele decir que la función \(f_{1}\cup...\cup f_{k}\) es definida por casos a partir de las funciones \(f_{1},...,f_{k}\). Es importante notar que si no se da la condición \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) para \(i\neq j\), el conjunto \(f_{1}\cup...\cup f_{k}\) puede no ser una función. Dejamos al lector dar un ejemplo.
1.2. V o F o I, justifique.
adhocprefix(1)adhocsufix Si \[\begin{array}{rll} f:\mathbf{N} & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & x^{3} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rll} g:\mathbf{N} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & x^{3} \end{array}\] entonces \(f=g\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \[\begin{array}{rll} f:\mathbf{N} & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & x^{3} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rll} g:\mathbf{N} & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & x^{4}/x \end{array}\] entonces \(f=g\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(f\) es una función y \(z\in D_{f}\), entonces \(Ti(z)=\mathrm{CONJUNTO}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \(\mathrm{Dom}((1,2))=\{1\}\)
adhocprefix(5)adhocsufix \(\mathrm{Dom}(\{(1,2)\})+1=2\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(f\) es una función, entonces \(D_{f}=\{a:(a,b)\in f\}\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(f:A\rightarrow B\), entonces \(D_{f}\subseteq A\)
adhocprefix(8)adhocsufix Si \(f:A\rightarrow B\), entonces \(I_{f}=B\)
adhocprefix(9)adhocsufix Si \(f\) es una función y \(g\subseteq f\), entonces \(g\) es una función
1.3. V o F o I, justifique.
adhocprefix(1)adhocsufix Una función \(f\) es inyectiva si \(f(x)=f(y)\) cada vez que \(x=y\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(F:A\rightarrow B\) es suryectiva sii para cada \(a\in A\) existe un \(b\in B\) tal que \(b=F(a)\)
1.4. Dar una biyección entre \(\mathbf{N}\) y \(\omega\). Ídem entre \(\omega\) y \(\{x\in\omega:x\) es par\(\}\)
1.5. Dar una función inyectiva de \(\omega^{2}\) en \(\omega\) y dar una función suryectiva de \(\omega\) en \(\omega^{5}\)