Para hacer divertido nuestro desarrollo crearemos dos personajes que con su personalidad nos dejaran analizar las distintas maneras de hacer matemática. El escarabajo es netamente sintáctico y mecánico, no le gusta pensar los conceptos matemáticos imaginando los objetos involucrados en los mismos, simplemente quiere avanzar (sin mucho pensamiento) aplicando reglas sintácticas que le permitan obtener nuevas ecuaciones o expresiones matemáticas. El vive en el mundo plano de las palabras y ahí se siente apasionado por sus hábiles movimientos mecánicos. El escarabajo es en algún sentido una maravilla de la destreza mecánico-simbólica. La mariposa es todo lo contrario, le interesa pensar en los objetos matemáticos como si fueran reales dentro de su imaginación fantástica y con su habilidad de volar contempla el universo matemático desde un punto de vista conceptual e independiente de la manipulación sintáctica. Reconoce como objetos reales de su universo matemático no solo a los objetos finitarios (palabras, números, etc) sino también a toda la gama de objetos sofisticados transfinitos que se pueden construir con la imaginación y la especulación matemática. Mantiene este universo matemático en su imaginación dándole existencia y coherencia mas allá del mundo limitado de los objetos sintácticos que usa para expresarse. La mariposa es en algún sentido una maravilla de la imaginación matemática coherente.
A modo de ejemplo, al escarabajo la matemática orientada a objetos descripta en la sección anterior no le hace mucha gracia ya que es perezoso para imaginar los objetos asociados a los símbolos. Al contrario, la mariposa solo concibe la matemática orientada a objetos, los cuales piensa e imagina con un grado de realidad exacerbado.
En general la matemática se enseña con un estilo muy escarabajo y aun en las universidades esto persiste, manifestándose mas en las carreras de ciencias de la computación que en las vinculadas a la matemática clásica. Es natural que esto suceda ya que los informáticos manipulan constantemente objetos sintácticos usando reglas mecánicas y a veces los objetos subyacentes (semántica) pasan a un segundo plano.