1.9 Relaciones binarias

Sea \(A\) un conjunto. Por una relación binaria sobre \(A\) entenderemos un subconjunto de \(A^{2}\). Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(1,2),(2,3)\}\). Entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(\mathbf{N}\).

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:\) \(x\) divide a \(y\}\). Entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(\omega\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r\leq t\}\). Entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(\mathbf{R}\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix \(\emptyset\) es una relación binaria sobre \(A\), cualesquiera sea el conjunto \(A\).

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:x<y\) o \(y=0\}\). Entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(\omega\)

Nótese que si \(R\) es una relación binaria sobre \(A\) y \(A\subseteq B\) entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(B\). Por ejemplo las relaciones dadas en los ejemplos (E1), (E2), (E4) y (E5) también son relaciones binarias sobre \(\mathbf{R}\). Sin embargo si \(R\) es una relación binaria sobre \(B\) y \(A\subseteq B\) entonces no necesariamente \(R\) será una relación binaria sobre \(A\) (por que?).

Como es usual, cuando \(R\) sea una relación binaria sobre un conjunto \(A\), algunas veces escribiremos \(aRb\) en lugar de \((a,b)\in R\).

1.9.1 Propiedades notables de relaciones binarias

Hay algunas propiedades que pueden tener o no las relaciones binarias sobre un conjunto \(A\), las cuales son muy importantes en matemática. Algunas de estas son:

• Reflexividad: \(xRx\), cualesquiera sea \(x\in A\)

• Transitividad: \(xRy\) y \(yRz\) implica \(xRz\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

• Simetría: \(xRy\) implica \(yRx\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

• Antisimetría: \(xRy\) y \(yRx\) implica \(x=y\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

Cuando \(R\) cumpla la primer propiedad diremos que \(R\) es reflexiva, con respecto a \(A\). Análogamente diremos que \(R\) es transitiva, simétrica o antisimétrica, con respecto a \(A\), cuando se den, respectivamente las otras propiedades. Nótese que estas propiedades dependen del conjunto \(A\), por ejemplo si tomamos \(R=\{(r,t)\in\mathbf{N}^{2}:r\leq t\}\) entonces \(R\) es una relación binaria sobre \(\mathbf{N}\) y también es una relación binaria sobre \(\omega\), pero es reflexiva con respecto a \(\mathbf{N}\) y no lo es con respecto a \(\omega\) ya que \((0,0)\) no pertenece a \(R\). Sin embargo \(R\) es transitiva con respecto a \(\mathbf{N}\) y también lo es con respecto a \(\omega\).

1.9.2 Ordenes parciales

Una relación binaria \(R\) sobre un conjunto \(A\) será llamada un orden parcial sobre \(A\) si es reflexiva, transitiva y antisimétrica respecto de \(A\). Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r\leq t\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\mathbf{R}\), llamado el orden usual de \(\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(R=\{(1,2),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3)\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\{1,2,3\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subseteq T\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\mathcal{P}(\omega)\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:\) \(x\leq y\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\omega\).

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1)\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\{1\}\).

6. adhocprefix(E6)adhocsufix \(\{(a,b)\in A^{2}:a=b\}\) es un orden parcial sobre \(A\), cualesquiera sea el conjunto \(A\)

7. adhocprefix(E7)adhocsufix Sea \(\mathrm{\leq}=\{(n,m)\in\mathbf{N}^{2}:n\mid m\}\). Es fácil ver que \(\leq\) es un orden parcial sobre \(\mathbf{N}\)

Nótese que las relaciones dadas en (E1) y (E4) son distintas, además la relación dada en (E4) no es un orden parcial sobre \(\mathbf{R}\) (por que?).

Muchas veces denotaremos con \(\leq\) a una relación binaria que sea un orden parcial. Esto hace mas intuitiva nuestra escritura pero siempre hay que tener en cuenta que \(\leq\) en estos casos esta denotando cierto conjunto de pares ordenados previamente definido.

Usaremos la siguiente

• Convención Notacional: Si hemos denotado con \(\leq\) a cierto orden parcial sobre un conjunto \(A\), entonces

  • Denotaremos con \(<\) a la relación binaria \(\{(a,b)\in A^{2}:a\leq b\) y \(a\neq b\}\). Es decir que \(\mathrm{<}=\{(a,b)\in A^{2}:a\leq b\) y \(a\neq b\}\). Cuando se dé \(a<b\) diremos que \(a\) es menor que \(b\) o que \(b\) es mayor que \(a\) (respecto de \(\leq\))

  • Denotaremos con \(\prec\) a la relación binaria \[\{(a,b)\in A^{2}:a<b\text{ y no existe }z\text{ tal que }a<z<b\}\] Cuando se dé \(a\prec b\) diremos que \(a\) es cubierto por \(b\) o que \(b\) cubre a \(a\) (respecto de \(\leq\))

Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(A=\mathbf{R}\) y \(\mathrm{\leq}=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(\mathrm{<}=\emptyset\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(\mathrm{\leq}=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\), entonces \(\mathrm{<}=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) y \(\mathrm{\prec}=\{(1,2),(2,3)\}\). En particular tenemos que \(1\prec2\), \(1<3\) pero no se da que \(1\prec3\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(A=\mathcal{P}(\omega)\) y \(\mathrm{\leq}=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subseteq T\}\), entonces \(\mathrm{<}=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subsetneq T\}\) y \(S\prec T\) sii hay un \(n\in T-S\) tal que \(T=S\cup\{n\}\)

1.9.2.1 Ordenes totales sobre un conjunto

Sea \(A\) un conjunto cualquiera. Por un orden total sobre \(A\) entenderemos un orden parcial \(\leq\) sobre \(A\) el cual cumpla:

1. adhocprefix(C)adhocsufix \(a\leq b\) o \(b\leq a\), cualesquiera sean \(a,b\in A\)

Supongamos \(A\) es finito no vacío y \(\leq\) es un orden total sobre \(A\). La propiedad (C) nos permite probar que para cada conjunto no vacío \(S\subseteq A\), hay un elemento \(s\in S\) el cual cumple \(s\leq s^{\prime}\) para cada \(s^{\prime}\in S\). Por supuesto, \(s\) es único (por que?) y habitualmente es llamado el menor elemento de \(S\), ya que es menor que todo otro elemento de \(S\).

Si \(A\) es finito no vacío y \(\leq\) es un orden total sobre \(A\), podemos definir recursivamente una función \(f:\{1,...,\left\vert A\right\vert \}\rightarrow A\) de la siguiente manera:

1. adhocprefix-adhocsufix \(f(1)=\) menor elemento de \(A\)

2. adhocprefix-adhocsufix Si \(i\in\{1,...,\left\vert A\right\vert -1\}\), entonces

   1. adhocprefix-adhocsufix \(f(i+1)=\) menor elemento de \(A-\{f(1),...,f(i)\}\)

Como es habitual, \(f(i)\) es llamado el \(i\)-ésimo elemento de \(A\).

Muchas veces para dar un orden total sobre un conjunto finito \(A\), daremos simplemente sus elementos en forma creciente ya que esto determina el orden por completo. Por ejemplo si \(A=\{1,2,3\}\), el orden total dado por \(2<1<3\) es la relación \(\mathrm{\leq}=\{(2,1),(1,3),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3)\}\).

Un concepto importante relativo a los ordenes totales es el de sucesor. Si \(\leq\) es un orden total sobre \(A\) y \(a,b\in A\), diremos que \(b\) es el sucesor de \(a\) cuando se dé que \(a<b\) y \(b\leq c\), para cada \(c\in A\) tal que \(a<c\), i.e., \(b\) es el menor elemento del conjunto \(\{c\in A:\) tal que \(a<c\}\). No siempre existe el sucesor de un elemento. Por ejemplo si \(\leq\) es el orden usual de \(\mathbf{R}\), entonces ningún elemento tiene sucesor (justifique).

1.9.2.2 Diagramas de Hasse

Dado un orden parcial \(\leq\) sobre un conjunto finito \(A\) podemos realizar un diagrama de \(\leq\), llamado diagrama de Hasse, siguiendo las siguientes instrucciones:

1. adhocprefix(1)adhocsufix Asociar en forma inyectiva, a cada \(a\in\) \(A\) un punto \(p_{a}\) del plano

2. adhocprefix(2)adhocsufix Trazar un segmento de recta uniendo los puntos \(p_{a}\) y \(p_{b}\), cada vez que \(a\prec b\)

3. adhocprefix(3)adhocsufix Realizar lo indicado en los puntos (1) y (2) en tal forma que

   1. adhocprefix(i)adhocsufix Si \(a\prec b\), entonces \(p_{a}\) esta por debajo de \(p_{b}\)

   2. adhocprefix(ii)adhocsufix Si un punto \(p_{a}\) ocurre en un segmento del diagrama entonces lo hace en alguno de sus extremos.

La relación de orden \(\leq\) puede ser fácilmente obtenida de su diagrama, a saber, \(a\leq b\) sucederá si y solo si \(p_{a}=p_{b}\) o hay una sucesión de segmentos ascendentes desde \(p_{a}\) hasta \(p_{b}\).

Ejemplos:

1.9.3 Relaciones de equivalencia

Sea \(A\) un conjunto cualquiera. Por una relación de equivalencia sobre \(A\) entenderemos una relación binaria sobre \(A\) la cual es reflexiva, transitiva y simétrica, con respecto a \(A\), es decir, la cual cumple:

• Reflexividad: \(xRx\), cualesquiera sea \(x\in A\)

• Transitividad: \(xRy\) y \(yRz\) implica \(xRz\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

• Simetría: \(xRy\) implica \(yRx\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Dada una función \(f:A\rightarrow B\), el núcleo de \(f\), i.e. \(\ker(f)=\{(a,b)\in A^{2}:f(a)=f(b)\}\) es una relación de equivalencia sobre \(A\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\{1,2,3\}\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:x=y\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\omega\)

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:(S-T)\cup(T-S)\) es finito\(\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathcal{P}(\omega)\)

6. adhocprefix(E7)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1)\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\{1\}\).

7. adhocprefix(E8)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es múltiplo de \(2\}\). Entonces \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathbf{Z}\).

Dada una relación de equivalencia \(R\) sobre \(A\) y \(a\in A\), definimos: \[a/R=\{b\in A:aRb\}\] El conjunto \(a/R\) será llamado la clase de equivalencia de \(a\), con respecto a \(R\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(r/R=\{r\}\), cualesquier sea \(r\in\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), entonces \(1/R=2/R=\{1,2\}\) y \(3/R=\{3\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es múltiplo de \(2\}\), entonces \(0/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\), \(1/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\) y en general nótese que \(n/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\) si \(n\) es par y \(n/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\) si \(n\) es impar. Es decir que hay solo dos clases de equivalencia con respecto a \(R\)

Algunas propiedades básicas son:

Proof. (1) es muy fácil.

(2) Supongamos \(aRb\). Veremos que \(a/R\subseteq b/R\). Supongamos \(c\in a/R\). Entonces \(aRc\). Como \(aRb\), tenemos que \(bRa\), por lo cual hemos probado que \(bRa\) y \(aRc\), lo cual implica que \(bRc\). O sea que \(cRb\), lo cual nos dice que \(c\in b/R\). Esto prueba que \(a/R\subseteq b/R\). Similarmente se prueba que \(b/R\subseteq a/R\), con lo cual se tiene que \(a/R=b/R\).

Recíprocamente, si \(a/R=b/R\), entonces \(b\in a/R\) ya que \(b\in b/R\). Pero esto nos dice que \(aRb\).

(3) Supongamos que \(a/R\cap b/R\) no es vacío, es decir hay un \(c\in a/R\cap b/R\). Entonces es fácil ver que \(aRb\). Pero entonces por (2) tenemos que \(a/R=b/R\).  

Denotaremos con \(A/R\) al conjunto \(\{a/R:a\in A\}\). Llamaremos a \(A/R\) el cociente de \(A\) por \(R\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(\mathbf{R}/R=\{\{r\}:r\in\mathbf{R}\}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), entonces \(\{1,2,3\}/R=\{\{1,2\},\{3\}\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es múltiplo de \(2\}\), ya vimos que \(\mathbf{Z}/R=\{\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\},\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\}\)

Si \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(A\), definamos la función \(\pi_{R}:A\rightarrow A/R\) por \(\pi_{R}(a)=a/R\), para cada \(a\in A\). La función \(\pi_{R}\) es llamada la proyección canónica (respecto de \(R\)).

1.9.3.1 Correspondencia entre relaciones de equivalencia y particiones

Dado un conjunto \(A\) por una partición de \(A\) entenderemos un conjunto \(\mathcal{P}\) tal que:

1. adhocprefix-adhocsufix Cada elemento de \(\mathcal{P}\) es un subconjunto no vacío de \(A\)

2. adhocprefix-adhocsufix Si \(S_{1},S_{2}\in\mathcal{P}\) y \(S_{1}\neq S_{2}\), entonces \(S_{1}\cap S_{2}=\emptyset\)

3. adhocprefix-adhocsufix \(A=\{a:a\in S\), para algún \(S\in\mathcal{P}\}\)

La última condición dice simplemente que la unión de todos los elementos de \(\mathcal{P}\) debe ser \(A\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(A=\{1,2,3,4,5\}\), entonces \[\mathcal{P}=\{\{1,5\},\{2,3\},\{4\}\}\]

   es una partición de \(A\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix \(\mathcal{P}=\{\mathbf{N},\mathbf{R}-\mathbf{N}\}\) es una partición de \(\mathbf{R}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix \(\mathcal{P}=\{\{0\},\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\},\{9,10\},...\}\) es una partición de \(\omega\)

Una observación importante es que si \(\mathcal{P}\) es una partición de \(A\), entonces para cada \(a\in A\) hay un único \(S\in\mathcal{P}\) tal que \(a\in S\) (por que?). O sea que podemos hablar de EL elemento de \(\mathcal{P}\) que contiene a \(a\).

Dada una partición \(\mathcal{P}\) de un conjunto \(A\) podemos definir una relación binaria asociada a \(\mathcal{P}\) de la siguiente manera: \[R_{\mathcal{P}}=\{(a,b)\in A^{2}:a,b\in S\text{, para algún }S\in\mathcal{P}\}\]

Proof. (1). Es fácil ver que \(R_{\mathcal{P}}\) es reflexiva y simétrica. Veamos que es transitiva. Supongamos que \(aR_{\mathcal{P}}b\) y \(bR_{\mathcal{P}}c\). O sea que hay \(S_{1},S_{2}\in\mathcal{P}\) tales que \(a,b\in S_{1}\) y \(b,c\in S_{2}\). Ya que \(S_{1}\) y \(S_{2}\) tienen un elemento en común, deberá suceder que \(S_{1}=S_{2}\). Pero entonces tenemos que \(a,c\in S_{1}\), lo cual nos dice que \(aR_{\mathcal{P}}c\).

(2). Sigue fácilmente del Lema 1.4.  

El siguiente teorema da una correspondencia natural entre relaciones de equivalencia sobre \(A\) y particiones de \(A\).

Proof. Nótese que por el Lema 1.3 basta con probar:

1. adhocprefix(1)adhocsufix \(A/R_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}\), cualesquiera sea la partición \(\mathcal{P}\) de \(A\)

2. adhocprefix(2)adhocsufix \(R_{A/R}=R\), cualesquiera sea la relación de equivalencia \(R\) sobre \(A\)

Prueba de (1). Primero veamos que \(A/R_{\mathcal{P}}\subseteq\mathcal{P}\). Sea \(a\in A\), veremos que \(a/R_{\mathcal{P}}=\{b:aR_{\mathcal{P}}b\}\in\mathcal{P}\). Sea \(S\) el único elemento de \(\mathcal{P}\) que contiene a \(a\). Es fácil ver de la definición de \(R_{\mathcal{P}}\) que \(a/R_{\mathcal{P}}=S\) por lo cual \(a/R_{\mathcal{P}}\in\mathcal{P}\). Veamos ahora que \(\mathcal{P}\subseteq A/R_{\mathcal{P}}\). Sea \(S\in\mathcal{P}\). Sea \(a\in S\). Es fácil ver de la definición de \(R_{\mathcal{P}}\) que \(a/R_{\mathcal{P}}=S\) por lo cual \(S\in A/R_{\mathcal{P}}\).

Prueba de (2). Primero veamos que \(R_{A/R}\subseteq R\). Supongamos \(aR_{A/R}b\). Entonces \(a,b\in c/R\), para algún \(c\in A\). Es claro que entonces \(aRb\). Veamos ahora que \(R\subseteq R_{A/R}\). Supongamos que \(aRb\). Entonces \(a,b\in a/R\), lo cual nos dice que \(aR_{A/R}b\).  

El teorema anterior muestra que a nivel de información es lo mismo tener una relación de equivalencia sobre \(A\) que tener una partición de \(A\). Esto es muy útil ya que muchas veces es mas fácil especificar una relación de equivalencia vía su partición asociada. Por ejemplo si hablamos de la relación de equivalencia sobre \(\{1,2,3,4,5\}\) dada por la partición \[\mathcal{P}=\{\{1,5\},\{4\},\{2,3\}\}\] nos estaremos refiriendo a \(R_{\mathcal{P}}\), es decir a la relación: \[\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2)\}\]

1.9.3.2 Definición de funciones con dominio \(A/R\)

Supongamos \(R\) es una relación de equivalencia sobre \(\mathbf{R}\) y supongamos definimos una función \(f:\mathbf{R}/R\rightarrow\mathbf{R}\) de la siguiente manera: \[f(r/R)=r^{2}\] A priori puede parecer que esta definición es natural y que no esconde ninguna posible complicación. Pero veamos que pueden surgir problemas dependiendo de como es \(R\). Supongamos que \(R\) es tal que \(2R6\). Entonces tendríamos que \(2/R=6/R\), lo cual nos diría obviamente que \(f(2/R)=f(6/R)\). Pero \(f(2/R)=2^{2}=4\) y \(f(6/R)=6^{2}=36\), por lo cual debería suceder que \(4\) sea igual a \(36\). El problema aquí es que la ecuación \(f(r/R)=r^{2}\) no esta definiendo en forma correcta o inambigua una función ya que el supuesto valor de la función en una clase de equivalencia dada depende de que representante de la clase usamos para denotarla. Si usamos el 2 la ecuación nos dice que entonces \(f\) debe valer 4 y si usamos el 6 la ecuación nos dice que \(f\) debe valer 36. Claramente no estamos definiendo una función.

Para dar un ejemplo mas concreto de este fenómeno de ambigüedad, supongamos \[R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\text{ es multiplo de }2\}\] y definimos una función \(f:\mathbf{Z}/R\rightarrow\mathbf{R}\) de la siguiente manera: \[f(n/R)=1/(n^{2}+1)\] Como ya vimos \(\mathbf{Z}/R=\{\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\},\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\}\), por lo cual fácilmente se puede llegar a que la ecuación \(f(n/R)=1/(n^{2}+1)\) no define correctamente una función. Por ejemplo, si llamamos \(c\) a la clase \(\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\) tenemos que la ecuación nos diría que \(f(c)=f(0/R)=1/(0^{2}+1)=1\) y que también \(f(c)=f(2/R)=1/(2^{2}+1)=1/5\).

Sin embargo hay muchos casos en los cuales este tipo de definiciones son inambiguas y desde luego muy importantes en el álgebra moderna. Como un primer ejemplo tenemos el siguiente lema el cual es una de las ideas fundamentales del álgebra moderna.

Proof. Que la ecuación \(\bar{f}(a/\ker(f))=f(a)\) define sin ambigüedad una función \(\bar{f}:A/\ker(f)\rightarrow B\) es obvio ya que si \(a/\ker(f)=b/\ker(f)\), entonces por definición de \(\ker(f)\) deberá suceder que \(a=b\). Dejamos al lector la prueba de que \(\bar{f}\) es inyectiva. Es obvio que \(f\) y \(\bar{f}\) tienen la misma imagen por lo cual si \(f\) es suryectiva, \(\bar{f}\) lo será.