Dado que las estructuras de tipo \(\tau\) constituyen los "mundos posibles" donde las fórmulas de tipo \(\tau\) se "interpretan" se suele llamar semántica al estudio general de las estructuras y su vinculación con el lenguaje. Aquí daremos algunas nociones básicas de semántica.
La noción de homomorfismo estaba restringida a unos pocos casos particulares de estructuras estudiadas pero ahora con nuestra definición general de estructura podemos generalizarla en forma natural. Antes una notación muy útil. Dado un modelo de tipo \(\tau\), \(\mathbf{A}=(A,i)\), para cada \(s\in\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\), usaremos \(s^{\mathbf{A}}\) para denotar a \(i(s)\).
Sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) modelos de tipo \(\tau\). Una función \(F:A\rightarrow B\) será un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) si se cumplen las siguientes
adhocprefix(1)adhocsufix \(F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\), para todo \(c\in\mathcal{C}\),
adhocprefix(2)adhocsufix \(F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))=f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(a_{1},...,a_{n}\in A\).
adhocprefix(3)adhocsufix \((a_{1},...,a_{n})\in r^{\mathbf{A}}\) implica \((F(a_{1}),...,F(a_{n}))\in r^{\mathbf{B}}\), para todo \(r\in\mathcal{R}_{n}\), \(a_{1},...,a_{n}\in A\).
Un isomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) será un un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) el cual sea biyectivo y cuya inversa sea un homomorfismo de \(\mathbf{B}\) en \(\mathbf{A}\). Diremos que los modelos \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) son isomorfos (en símbolos: \(\mathbf{A}\cong\mathbf{B}\)), cuando haya un isomorfismo \(F\) de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\). Diremos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo para expresar que \(F\) es un homomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\). Análogamente diremos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo para expresar que \(F\) es un isomorfismo de \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\).
Ejercicio: Pruebe que la relación \(\cong\) es reflexiva, transitiva y simétrica.
7.20. Sea \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) un homomorfismo. Entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)])=t^{\mathbf{B}}[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \(t\in T^{\tau}\), \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\).
Proof. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \[F(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)])=t^{\mathbf{B}}[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \(t\in T_{k}^{\tau}\), \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\).
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Fácil y dejada al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(t\in T_{k+1}^{\tau}\) y \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(T_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(t\in T_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\geq1\),\(\;f\in\mathcal{F}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Denotemos \((F(a_{1}),F(a_{2}),...)\) con \(F(\vec{a})\). Tenemos entonces \[\begin{array}{ccl} F(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]) & = & F(f(t_{1},...,t_{n})^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]),...,F(t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(t_{1}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})],...,t_{n}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]))\\ & = & f(t_{1},...,t_{n})^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]\\ & = & t^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})] \end{array}\]
7.21. Supongamos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo. Sea \(\varphi\in F^{\tau}\). Entonces \[\mathbf{A}\models\varphi[(a_{1},a_{2},...)]\text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[(F(a_{1}),F(a_{2}),...)]\] para cada \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). En particular \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) satisfacen las mismas sentencias de tipo \(\tau\).
Proof. Para \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\), denotemos \((F(a_{1}),F(a_{2}),...)\) con \(F(\vec{a})\). Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada \(k\in\omega\) sea \(\mathrm{Enu}_{k}\) el siguiente enunciado:
adhocprefix\(\mathrm{Enu}_{k}\):adhocsufix Supongamos que \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un isomorfismo. Sea \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Entonces \[\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})]\] para cada \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\)
Hagamos entonces lo que nos encomienda la Regla de Inducción desde \(0\).
Prueba de que \(\mathrm{Enu}_{0}\) es verdadero. Hay dos casos.
Caso \(\varphi=r(t_{1},...,t_{n})\), con \(n\geq1\),\(\;r\in\mathcal{R}_{n}\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\). Tenemos entonces \[\begin{array}{ccl} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}] & \text{sii} & (t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\in r^{\mathbf{A}}\text{ (def de }\models\text{)}\\ & \text{sii} & (F(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]),...,F(t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]))\in r^{\mathbf{B}}\text{ (}F\text{ es iso)}\\ & \text{sii} & (t_{1}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})]),...,t_{n}^{\mathbf{B}}[F(\vec{a})])\in r^{\mathbf{B}}\text{ (Lema \ref{F-respeta-term})}\\ & \text{sii} & \mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})] \end{array}\]
Caso \(\varphi=(t\equiv s)\) es dejado al lector.
Prueba de que si \(\mathrm{Enu}_{k}\) es verdadero entonces \(\mathrm{Enu}_{k+1}\) lo es. Supongamos entonces que vale \(\mathrm{Enu}_{k}\). Supongamos \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo y sean \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\) y \((a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\). Por definición de \(F_{k+1}^{\tau}\), hay varios casos.
Caso \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). Ya que es verdadero \(\mathrm{Enu}_{k}\), es claro que se cumple la conclusión de \(\mathrm{Enu}_{k+1}\).
Caso \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), con \(\varphi_{1},\varphi_{2}\in F_{k}^{\tau}\). Entonces \[\begin{aligned} {2} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}] & \text{ sii }\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\text{ o }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}] & (\text{def de \models})\\ & \text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi_{1}[F(\vec{a})]\text{ o }\mathbf{B}\models\varphi_{2}[F(\vec{a})] & (\mathrm{Enu}_{k})\\ & \text{ sii }\mathbf{B}\models\varphi[F(\vec{a})] & (\text{def de \models}) \end{aligned}\]
Los casos \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\), \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\) y \(\varphi=\neg\varphi_{1}\) son análogos al caso anterior.
Caso \(\varphi=\forall x_{j}\varphi_{1}\), \(\varphi_{1}\in F_{k}^{\tau}\) y \(j\in\mathbf{N}\). Veamos cada implicación por separado. Supongamos \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Entonces por la definición de \(\models\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\). Por \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Pero ya que \(F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))=\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))\) tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Como \(F\) es suryectiva obtenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{b}(F(\vec{a}))]\), para todo \(b\in B\). Ahora la definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi[F(\vec{a})]\). Supongamos ahora que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi[F(\vec{a})]\). La definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{b}(F(\vec{a}))]\), para todo \(b\in B\). Obviamente esto nos dice que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Pero como \(\downarrow_{j}^{F(a)}(F(\vec{a}))=F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))\) , tenemos que \(\mathbf{\mathbf{B}}\models\varphi_{1}[F(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a}))]\), para todo \(a\in A\). Por \(\mathrm{Enu}_{k}\) tenemos entonces que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\), lo cual por la definición de \(\models\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\).
El caso \(\varphi=\exists x_{j}\varphi_{1}\) es análogo al anterior.
Un tipo \(\tau\) será llamado algebraico si no contiene nombres de relación (i.e. \(\mathcal{R}=\emptyset\)). Un modelo de un tipo algebraico \(\tau\) será llamado una \(\tau\)-álgebra. Ejemplos clásicos de \(\tau\)-álgebras son los grupos (\(\tau=(\{e\},\{.^{2}\},\emptyset,a)\)), los reticulados terna, los reticulados acotados, las álgebras de Boole, etc. Muchos de los resultados y definiciones dados en la Capítulo Estructuras Algebraicas Ordenadas para reticulados terna, reticulados acotados y reticulados complementados pueden ahora ser generalizados naturalmente para \(\tau\)-álgebras. Desarrollaremos un poco esta linea de "álgebra general" la cual ha tenido un fuerte impacto en el área de las especificaciones algebraicas de tipos de datos.
Tal como sucedía para las distintas estructuras reticuladas estudiadas, tenemos que cuando \(\mathcal{R}=\emptyset\), la noción de isomorfismo se simplifica.
7.22. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo biyectivo, entonces \(F\) es un isomorfismo.
Proof. Solo falta probar que \(F^{-1}\) es un homomorfismo. Supongamos que \(c\in\mathcal{C}\). Ya que \(F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\), tenemos que \(F^{-1}(c^{\mathbf{B}})=c^{\mathbf{A}}\), por lo cual \(F^{-1}\) cumple (1) de la definición de homomorfismo. Supongamos ahora que \(f\in\mathcal{F}_{n}\) y sean \(b_{1},...,b_{n}\in B\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\) tales que \(F(a_{i})=b_{i}\), \(i=1,...,n\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} F^{-1}(f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n})) & = & F^{-1}(f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n})))\\ & = & F^{-1}(F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})))\\ & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\\ & = & f^{\mathbf{A}}(F^{-1}(b_{1}),...,F^{-1}(b_{n})) \end{array}\] por lo cual \(F^{-1}\) satisface (2) de la definición de homomorfismo
Dadas \(\tau\)-álgebras \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\), diremos que \(\mathbf{A}\) es una subálgebra de \(\mathbf{B}\) cuando se den las siguientes condiciones
adhocprefix(1)adhocsufix \(A\subseteq B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{B}}\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{B}}|_{A^{n}}\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\), \(n\geq1\)
Si \(\mathbf{B}\) es una \(\tau\)-álgebra, entonces un subuniverso de \(\mathbf{B}\) es un conjunto \(A\) el cual cumple las siguientes condiciones:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\emptyset\neq A\subseteq B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{B}}\in A,\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{B}}(a_{1},...,a_{n})\in A\), para cada \((a_{1},...,a_{n})\in A^{n},\) \(f\in\mathcal{F}_{n}\)
Es importante notar que si bien los conceptos de subálgebra y subuniverso están muy relacionados, se trata de objetos diferentes ya que las subálgebras de un álgebra dada son estructuras de tipo \(\tau\) y por lo tanto son pares ordenados y los subuniversos de un álgebra dada son ciertos subconjuntos por lo cual no son pares ordenados. A continuación analizaremos en forma mas precisa la relación que hay entre estos dos conceptos. Nótese que dado un subuniverso \(A\) de una \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{B}\) podemos definir en forma natural una \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}\) de la siguiente manera:
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}=A\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}}=c^{\mathbf{B}},\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}}=f^{\mathbf{B}}|_{A^{n}},\) para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\).
Es fácil chequear que el álgebra \(\mathbf{A}\) así definida es una subálgebra de \(\mathbf{B}\). Lo anterior nos muestra que los subuniversos de un álgebra dada son precisamente los universos de las distintas subálgebras de dicha álgebra.
7.23. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \(I_{F}\) es un subuniverso de \(\mathbf{B}\)
Proof. Ya que \(A\neq\emptyset,\) tenemos que \(I_{F}\neq\emptyset.\) Es claro que \(c^{\mathbf{B}}=F(c^{\mathbf{A}})\in I_{F},\) para cada \(c\in\mathcal{C}\). Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\) y sean \(b_{1},...,b_{n}\in I_{F}\) Sean \(a_{1},...,a_{n}\) tales que \(F(a_{i})=b_{i},\) \(i=1,...,n\). Tenemos que \[f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n})=f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))=F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))\in I_{F}\] por lo cual \(I_{F}\) es cerrada bajo \(f^{\mathbf{B}}\).
Sea \(\mathbf{A}\) una \(\tau\)-álgebra. Una congruencia sobre \(\mathbf{A}\) es una relación de equivalencia \(\theta\) sobre \(A\) la cual cumple que \[a_{1}\theta b_{1},...,a_{n}\theta b_{n}\text{ implica }f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\theta f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})\] cualesquiera sean \(a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n}\in A\) y\(\;f\in\mathcal{F}_{n}\).
Dada una congruencia \(\theta\) sobre \(\mathbf{A}\) se puede formar una nueva \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}/\theta\) de la siguiente manera:
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}/\theta=A/\theta=\{a/\theta:a\in A\}=\{\)clases de equivalencia de \(\theta\}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}/\theta}(a_{1}/\theta,...,a_{n}/\theta)=f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\theta,\) para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}.\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}/\theta}=c^{\mathbf{A}}/\theta,\) para cada \(c\in\mathcal{C}\)
La \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}/\theta\) será llamada el álgebra cociente de \(\mathbf{A}\) por \(\theta\).
7.24. Supongamos \(\tau\) es algebraico. Si \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) es un homomorfismo, entonces \(\ker(F)\) es una congruencia sobre \(\mathbf{A}\)
Proof. Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\). Supongamos que \(a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n}\in A\) son tales que \(a_{1}\ker(F)b_{1},...,a_{n}\ker(F)b_{n}\). Tenemos entonces que \[\begin{array}{ccl} F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})) & = & f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(b_{1}),...,F(b_{n}))\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})) \end{array}\] lo cual nos dice que \(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\ker(F)f^{\mathbf{A}}(b_{1},...,b_{n})\)
Al mapeo \[\begin{array}{lll} A & \rightarrow & A/\theta\\ a & \rightarrow & a/\theta \end{array}\] lo llamaremos la proyección canónica y lo denotaremos con \(\pi_{\theta}\).
7.25. \(\pi_{\theta}:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}/\theta\) es un homomorfismo cuyo núcleo es \(\theta\)
Proof. Sea \(c\in\mathcal{C}\). Tenemos que \[\pi_{\theta}(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{A}}/\theta=c^{\mathbf{A}/\theta}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\geq1\) y sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \pi_{\theta}(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})) & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\theta\\ & = & f^{\mathbf{A}/\theta}(a_{1}/\theta,...,a_{n}/\theta)\\ & = & f^{\mathbf{A}/\theta}(\pi_{\theta}(a_{1}),...,\pi_{\theta}(a_{n})) \end{array}\] con lo cual \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo. Es trivial que \(\ker(\pi_{\theta})=\theta\)
7.2. Para cada \(t\in T^{\tau}\), \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}},\) se tiene que \(t^{\mathbf{A}/\theta}[(a_{1}/\theta,a_{2}/\theta,...)]=t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)]/\theta.\)
Proof. Ya que \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo, se puede aplicar el Lema 7.20.
7.3. Sea \(F:\mathbf{A}\rightarrow\mathbf{B}\) un homomorfismo suryectivo. Entonces \[\begin{array}{lll} A/\ker(F) & \rightarrow & B\\ a/\ker(F) & \rightarrow & F(a) \end{array}\] define sin ambigüedad una función \(\bar{F}\) la cual es un isomorfismo de \(\mathbf{A}/\ker(F)\) en \(\mathbf{B}\)
Proof. Nótese que la definición de \(\bar{F}\) es inambigua ya que si \(a/\ker(F)=a^{\prime}/\ker(F)\), entonces \(F(a)=F(a^{\prime}).\) Ya que \(F\) es sobre, tenemos que \(\bar{F}\) lo es. Supongamos que \(\bar{F}(a/\ker(F))=\bar{F}(a^{\prime}/\ker(F)).\) Claramente entonces tenemos que \(F(a)=F(a^{\prime})\), lo cual nos dice que \(a/\ker(F)=a^{\prime}/\ker(F)\). Esto prueba que \(\bar{F}\) es inyectiva. Para ver que \(\bar{F}\) es un isomorfismo, por el Lema 7.22, basta con ver que \(\bar{F}\) es un homomorfismo. Sea \(c\in\mathcal{C}\). Tenemos que \[\bar{F}(c^{\mathbf{A}/\ker(F)})=\bar{F}(c^{\mathbf{A}}/\ker(F))=F(c^{\mathbf{A}})=c^{\mathbf{B}}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\). Sean \(a_{1},...,a_{n}\in A\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \bar{F}(f^{\mathbf{A}/\ker(F)}(a_{1}/\ker(F),...,a_{n}/\ker(F))) & = & \bar{F}(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})/\ker(F))\\ & = & F(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(F(a_{1}),...,F(a_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{B}}(\bar{F}(a_{1}/\ker(F)),...,\bar{F}(a_{n}/\ker(F))) \end{array}\] con lo cual \(\bar{F}\) cumple (2) de la definición de homomorfismo
Dadas \(\tau\)-álgebras \(\mathbf{A},\mathbf{B},\) definamos una nueva \(\tau\)-álgebra \(\mathbf{A}\times\mathbf{B},\) de la siguiente manera
adhocprefix(1)adhocsufix Universo de \(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=A\times B\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(c^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}=(c^{\mathbf{A}},c^{\mathbf{B}})\), para cada \(c\in\mathcal{C}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(f^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n}))=(f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}),f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n}))\), para cada \(f\in\mathcal{F}_{n}\)
Llamaremos a \(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\) el producto directo de \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}.\)
Los mapeos \[\begin{array}{lll} \pi_{1}:A\times B & \rightarrow & A\\ \;\;\;\;\;(a,b) & \rightarrow & a \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{lll} \pi_{2}:A\times B & \rightarrow & B\\ \;\;\;\;\;(a,b) & \rightarrow & b \end{array}\] serán llamados las proyecciones canónicas asociadas al producto \(A\times B\)
7.26. Los mapeos \(\pi_{1}:\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{A}\) y \(\pi_{2}:\mathbf{A}\times\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{B}\) son homomorfismos
Proof. Veamos que \(\pi_{1}\) es un homomorfismo. Primero nótese que si \(c\in\mathcal{C}\), entonces \[\pi_{1}(c^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}})=\pi_{1}((c^{\mathbf{A}},c^{\mathbf{B}}))=c^{\mathbf{A}}\] Sea \(f\in\mathcal{F}_{n}\), con \(n\geq1\) y sean \((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n})\in A\times B\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} \pi_{1}(f^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}((a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n})) & = & \pi_{1}((f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n}),f^{\mathbf{B}}(b_{1},...,b_{n}))\\ & = & f^{\mathbf{A}}(a_{1},...,a_{n})\\ & = & f^{\mathbf{A}}(\pi_{1}(a_{1},b_{1}),...,\pi_{1}(a_{n},b_{n})) \end{array}\] con lo cual hemos probado que \(\pi_{1}\) cumple (2) de la definición de homomorfismo
7.27. Para cada \(t\in T^{\tau},\) \(((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...)\in(A\times B)^{\mathbf{N}},\) se tiene que \(t^{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}[((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),...)]=(t^{\mathbf{A}}[(a_{1},a_{2},...)],t^{\mathbf{B}}[(b_{1},b_{2},...)])\)