Dada una estructura \((A,i)\) de tipo \(\tau\) y un término elemental \(t\) de tipo \(\tau\), para que \(t\) represente un valor de \(A\), tenemos que asignarles valores concretos de \(A\) a las variables y a los nombres de elementos fijos que ocurren en \(t\). Los nombres de función que ocurren en \(t\) obviamente se interpretaran según manda la función \(i\). Similarmente dada una estructura \((A,i)\) de tipo \(\tau\) y una fórmula elemental \(\varphi\) de tipo \(\tau\), para que \(\varphi\) sea verdadera o falsa tenemos que asignarle valores concretos de \(A\) a las variables libres de \(\varphi\) y a los nombres de elementos fijos que ocurren en \(\varphi\) y luego, a los nombres de \(\mathcal{C}\cup\mathcal{F}\cup\mathcal{R}\), debemos interpretarlos usando la función \(i\). Notemos que si \(\varphi\) es una sentencia elemental pura de tipo \(\tau\), entonces \(\varphi\) será verdadera o falsa en cada estructura de tipo \(\tau\), sin necesidad de hacer asignaciones de valores a sus variables.
Algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{un},0\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her},\mathrm{Verde}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3),(\mathrm{Verde},1)\})\] Y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\mathbf{R}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{un})=\pi\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(0)=0\) (ojo que aquí el primer cero es un símbolo y el segundo un número real!)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{MAS}):\mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & x.y \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{P}):\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & x^{2} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Verde})=\mathbf{Q}\)
Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{un}\) asume o representa el valor \(\pi\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{P}(z)\) asume o representa el valor \(25\) cuando le asignamos a \(z\) el valor \(5\).
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z)\) asume o representa el valor \(2\) cuando le asignamos a \(a\) el valor \(\sqrt{2}\), a \(b\) el valor \(\sqrt{2}\) y a \(z\) el valor \(16\) (o cualquier otro valor)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\mathrm{Her}(x,y,z)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(9\), a \(y\) el valor \(1\) y a \(z\) el valor \(1\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(x)\) es falsa en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(\sqrt{2}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(a,b,\mathrm{un},z))\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(a\) el valor \(\sqrt{2}\), a \(b\) el valor \(\sqrt{2}\) y a \(z\) el valor \(16\) (o cualquier otro valor)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(a,y,z)\) es una sentencia ya que no tiene variables libres y es verdadera en \((A,i)\) cuando a \(a\) le asignamos un valor no nulo
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(x,y,z)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando a \(x\) le asignamos un valor no nulo
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\forall x\ (\lnot(x=0)\rightarrow\exists y\exists z\ \mathrm{Her}(x,y,z))\) es una sentencia elemental ya que no tiene variables libres y es verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\forall x\forall y\ ((\mathrm{Verde}(x)\wedge\mathrm{Verde}(y))\rightarrow\mathrm{Verde}(\mathrm{MAS}(x,y,\mathrm{un},z)))\) es verdadera en \((A,i)\) independientemente de que valor le asignemos a \(z\), ya que el producto de racionales es racional
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \(\exists y(\mathrm{MAS}(z,z,y,\mathrm{un})=\mathrm{P}(z))\) es verdadera en \((A,i)\) cualquiera sea el valor que le asignemos a \(z\)
Error frecuente: En la estructura anterior hay varios elementos que tienen su notación clásica en la matemática, por ejemplo, con la letra griega \(\pi\) denotamos la cantidad de veces que entra el diámetro en la circunferencia o con el numeral \(3\) denotamos al número entero tres. Esto no debe confundirnos y pensar que por ejemplo las palabras \[\lnot\mathrm{Verde}(\pi)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \exists y\mathrm{Her}(3,3,y)\] son fórmulas elementales de tipo \(\tau\) (aunque es claro que son verdaderas en la estructura \((A,i)\))
adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{er}\},\{+\},\{\leq\},\{(+,4),(\leq,5)\})\] y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\{1,2,3,4,5\}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{er})=4\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(+):A^{4} & \rightarrow & A\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & \max\{x,y,z,w\} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\leq)=\{(x,y,z,u,v)\in A^{5}:x+y+z+u+v\geq17\}\)
Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{er}\) asume o representa el valor \(4\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(+(x,x,x,a)\) asume o representa el valor \(4\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(2\) y a \(a\) el valor \(4\).
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er})\) es una sentencia elemental pura verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{\leq}(x,y,\mathrm{er},\mathrm{er},\mathrm{er})\) es una fórmula elemental pura la cual es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a las variables \(x\) e \(y\) valores que sumados den al menos \(5\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\exists y\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,y)\) es una sentencia elemental pura la cual es falsa en \((A,i)\), ya que la fórmula elemental \(\exists y\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,y)\) es falsa en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(1\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\forall x\exists z\ \mathrm{\leq}(x,x,x,x,+(x,x,x,z))\) es falsa en \((A,i)\)
adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{epa}\},\{\leq,r\},\emptyset,\{(\leq,1),(r,1)\})\] y sea \((A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) dada por:
adhocprefix-adhocsufix \(A=\omega\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{epa})=71\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(\mathrm{\leq}):\omega & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & x^{2} \end{array}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\begin{array}[t]{rcl} i(r):\omega & \rightarrow & \omega\\ x & \rightarrow & \left\lfloor \sqrt{x}\right\rfloor \end{array}\)
Nótese que aquí contrario al uso estandard en la matemática, el símbolo \(\leq\) se interpreta como una función. Entonces:
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{\leq}(x)\) asume el valor \(100\) cuando a \(x\) le asignamos el valor \(10\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(r(\mathrm{\leq}(b))\) asume el valor \(11\) cuando a \(b\) le asignamos el valor \(11\)
adhocprefix-adhocsufix El término elemental \(\mathrm{\leq}(r(b))\) asume el valor \(9\) cuando a \(b\) le asignamos el valor \(11\)
adhocprefix-adhocsufix La fórmula elemental \((\mathrm{\leq}(\mathrm{epa})=x)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a la variable \(x\) el valor \(71^{2}\) y falsa en caso contrario
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\exists z(\mathrm{\leq}(z)=x)\) es verdadera en \((A,i)\) cuando le asignamos a \(x\) el valor \(16\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\forall x\ (r(\mathrm{\leq}(x))=x)\) es verdadera en \((A,i)\)
adhocprefix-adhocsufix La sentencia elemental pura \(\exists x\ \lnot(\mathrm{\leq}(r(x))=x)\) es verdadera en \((A,i)\)