Una median algebra es un par \((A,M)\) donde \(A\) es un conjunto no vacío, \(M\) es una operación \(3\)-aria sobre \(A\) (i.e. \(M:A^{3}\rightarrow A\)) y se cumplen:
adhocprefix-adhocsufix \(M(x,y,z)=M(x,z,y)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)
adhocprefix-adhocsufix \(M(x,y,z)=M(y,z,x)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)
adhocprefix-adhocsufix \(M(x,x,y)=x\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)
adhocprefix-adhocsufix \(M(M(x,y,z),u,v)=M(x,M(y,u,v),M(z,u,v))\), cualesquiera sean \(x,y,z,u,v\in A\)
Por ejemplo si tomamos un reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y definimos \(M(x,y,z)=(x\;\mathsf{i\;}y)\;\mathsf{s\;}(x\;\mathsf{i\;}z)\;\mathsf{s\;}(y\;\mathsf{i\;}z)\), para cada \(x,y,z\in L\), entonces \((L,M)\) es una median algebra. Estas estructuras han sido extensivamente estudiadas y tienen un rol importante en la informática teórica.
Ya que hay una única operación distinguida la cual denotamos genéricamente con la letra \(M\), los términos elementales de median algebras serán dados por las siguientes clausulas
adhocprefix(1)adhocsufix Cada variable es un término elemental de median algebras
adhocprefix(2)adhocsufix Cada nombre de elemento fijo es un término elemental de median algebras
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(t_{1},t_{2},t_{3}\) son términos elementales de median algebras, entonces la palabra \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) es un término elemental de median algebras
adhocprefix(4)adhocsufix Una palabra es un término elemental de median algebras si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores
Debería quedar claro que arriba \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) denota el resultado de concatenar las 8 siguientes palabras \[M\;\;\;\;\;\;(\;\;\;\;\;\;t_{1}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;t_{2}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;t_{3}\;\;\;\;\;\;)\] es decir que \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) es una palabra de longitud \(\left|t_{1}\right|+\left|t_{2}\right|+\left|t_{3}\right|+5\).
Cabe destacar que esta definición de términos elementales de median algebras no es una definición matemática precisa. Algunos ejemplos:
adhocprefix-adhocsufix \(M(x,y,z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(M(M(a,a,a),a,a)\)
adhocprefix-adhocsufix \(M(a,b,M(M(M(x,y,z),u,v),x,a)\)
adhocprefix-adhocsufix \(x\)
adhocprefix-adhocsufix \(a\)
Ahora seguramente el lector no tendrá problema para definir las fórmulas elementales de median algebras. Algunos ejemplos:
adhocprefix-adhocsufix \(\exists x\exists y(M(x,y,z)=z)\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y\forall z((M(x,y,a)=M(x,y,b))\rightarrow(a=b))\)
adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y(M(x,y,y)=y)\)
Dejamos al lector que defina el concepto de fórmula elemental de median algebras