Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) un reticulado acotado. Dado \(a\in L\), diremos que \(a\) es complementado cuando exista un elemento \(b\in L\) (llamado complemento de a) tal que: \[\begin{aligned} a\;\mathsf{s\;}b & =1\\ a\;\mathsf{i\;}b & =0 \end{aligned}\] Nótese que dicho elemento \(b\) puede no ser único, es decir \(a\) puede tener varios complementos. Recordemos que una operación unaria sobre un conjunto \(L\) es por definición una función de \(L\) en \(L\). Muchas veces si \(s\) denota una operación unaria, entonces escribiremos \(x^{s}\) en lugar de \(s(x)\). Por un reticulado complementado entenderemos una \(6\)-upla \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) tal que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es un reticulado acotado y \(^{c}\) es una operación unaria sobre \(L\) tal que
adhocprefix(I10)adhocsufix \(x\mathsf{\;s\;}x^{c}=1\), para cada \(x\in L\)
adhocprefix(I11)adhocsufix \(x\mathsf{\;i\;}x^{c}=0\), para cada \(x\in L\)
Dado un reticulado acotado \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) puede haber mas de una operación unaria \(g\) tal que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},g,0,1)\) resulte un reticulado complementado. Intente dar un ejemplo en el cual \(L\) tenga 5 elementos.
Nótese que si tenemos un reticulado par \((L,\leq)\) en el cual hay un máximo \(1\) y un mínimo \(0\) y además tenemos una función \(g:L\rightarrow L\) tal que \[\begin{aligned} \sup(\{x,g(x)\}) & =1\\ \inf(\{x,g(x)\}) & =0 \end{aligned}\] para cada \(x\in L\), entonces podemos definir \[\begin{array}{rcl} \mathsf{s}:L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \sup(\{a,b\}) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} \mathsf{i}:L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \inf(\{a,b\}) \end{array}\] y se obtiene que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},g,0,1)\) es un reticulado complementado. Además todo reticulado complementado se obtiene de esta forma (por que?). O sea que a nivel de información, tener un reticulado par con \(0\) y \(1\) junto con una operación unaria que da complementos, es exactamente lo mismo que tener un reticulado complementado.
Dado un reticulado complementado \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\), llamaremos a \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{s}\;y=y\}\) el orden parcial asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) y \((L\leq)\) será llamado el poset asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\). Nótese que también tenemos que \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{i}\;y=x\}\) (¿por que?).
Muchos conceptos definidos para posets, reticulados terna o reticulados acotados, pueden aplicarse cuando tenemos un reticulado complementado \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\). Por ejemplo, si decimos que en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) el elemento \(a\) es cubierto por \(b\), esto significara que en el poset \((L,\leq)\) el elemento \(a\) es cubierto por \(b\). Si decimos que en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) se da que el supremo de un conjunto \(S\) es \(a\), nos estaremos refiriendo a que en su poset asociado \((L,\leq)\) se da que el supremo de \(S\) es \(a\). Si decimos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) es distributivo nos estaremos refiriendo a que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) lo es. Si decimos que en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) el elemento \(a\) es un complemento del elemento \(b\), nos estaremos refiriendo a que esto sucede en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\). Aquí es importante notar que por el hecho de saber que \(a\) sea un complemento de \(b\) en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) no podemos inferir que \(a=b^{c}\). También hablaremos del diagrama de Hasse de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en referencia al diagrama de Hasse de su poset asociado \((L,\leq)\).
Dados reticulados complementados \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) diremos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) es un subreticulado complementado de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) si se dan las siguientes condiciones
adhocprefix(1)adhocsufix \(L\subseteq L^{\prime}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(L\) es cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}^{\prime}\), \(\mathsf{i}^{\prime}\) y \(^{c^{\prime}}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(0=0^{\prime}\) y \(1=1^{\prime}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \(\mathsf{s}=\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\), \(\mathsf{i}=\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\) y \(^{c}=\ ^{c^{\prime}}\)\(|\)\(_{L}\)
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) un reticulado complementado. Un conjunto \(S\subseteq L\) es llamado subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) si \(0,1\in S\) y además \(S\) es cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}\), \(\mathsf{i}\) y \(^{c}\). Es importante notar que si bien los conceptos de subreticulado complementado y subuniverso están muy relacionados, se trata de conceptos diferentes ya que los subreticulados complementados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) son reticulados complementados, es decir \(6\)-uplas y los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) son conjuntos, por lo cual no son \(6\)-uplas.
Es fácil de chequear que si \(S\) es un subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\), entonces \((S,\mathsf{s}\mathrm{\mid}_{S\times S},\mathsf{i}\mathrm{\mid}_{S\times S},,^{c}\mathrm{\mid}_{S},0,1)\) es un subreticulado complementado de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) y que todo subreticulado complementado de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) se obtiene en esta forma. Es decir, hay una biyección entre el conjunto de los subreticulados complementados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) y el conjunto de los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) (cual es?). Dicho de manera mas rápida: los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) son ni mas ni menos que los universos de los subreticulados complementados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\).
Sean \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) reticulados complementados. Una función \(F:L\rightarrow L^{\prime}\) será llamada un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) si para todo \(x,y\in L\) se cumple que \[\begin{aligned} F(x\mathsf{\;s\;}y) & =F(x)\;\mathsf{s}^{\prime}\ F(y)\\ F(x\mathsf{\;i\;}y) & =F(x)\;\mathsf{i}^{\prime}\ F(y)\\ F(x^{c}) & =F(x)^{c^{\prime}}\\ F(0) & =0^{\prime}\\ F(1) & =1^{\prime} \end{aligned}\] Un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) será llamado isomorfismo cuando sea biyectivo y su inversa sea un homomorfismo. Como es usual usaremos el símbolo \(\cong\) para denotar la relación de isomorfismo. Escribiremos "Sea \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) un homomorfismo" para expresar que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\). No hay que confundirse al leer esta notación y pensar que \(F\) es una función cuyo dominio es \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\), lo cual por otra parte no tiene sentido ya que el dominio de una función nunca puede ser una \(6\)-upla!
5.20. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) un homomorfismo biyectivo, entonces \(F\) es un isomorfismo
Proof. Es dejada al lector.
5.21. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime}\),\(\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) es un homomorfismo, entonces \(I_{F}\) es un subuniverso de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime}\),\(\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\). Es decir que \(F\) es también un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en \((I_{F},\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}},\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\)
Proof. Es dejada al lector.
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) un reticulado complementado. Una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) será una relación de equivalencia sobre \(L\) la cual cumpla:
adhocprefix(1)adhocsufix \(\theta\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(x/\theta=y/\theta\) implica \(x^{c}/\theta=y^{c}/\theta\)
Las condiciones anteriores nos permiten definir sobre \(L/\theta\) dos operaciones binarias \(\mathsf{\tilde{s}}\) e \(\mathsf{\tilde{\imath}}\), y una operación unaria \(^{\tilde{c}}\) de la siguiente manera: \[\begin{aligned} x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta & =(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\\ x/\theta\mathsf{\;\tilde{\imath}\;}y/\theta & =(x\mathsf{\;i\;}y)/\theta\\ (x/\theta)^{\tilde{c}} & =x^{c}/\theta \end{aligned}\] La \(6\)-upla \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},^{\tilde{c}},0/\theta,1/\theta)\) es llamada el cociente de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) sobre \(\theta\) y la denotaremos con \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)/\theta\). Tal como era de esperar tenemos entonces
5.22. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) un reticulado complementado y sea \(\theta\) una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\).
adhocprefix(a)adhocsufix \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},^{\tilde{c}},0/\theta,1/\theta)\) es un reticulado complementado.
adhocprefix(b)adhocsufix \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) en \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},^{\tilde{c}},0/\theta,1/\theta)\) cuyo núcleo es \(\theta\).
Proof. (a) Por un lema anterior ya sabemos que \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) es un reticulado acotado. Es decir que solo nos falta ver que \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},^{\tilde{c}},0/\theta,1/\theta)\) satisface las identidades (I10) y (I11). Veamos por ejemplo que satisface la (I10). Sea \(x/\theta\) un elemento cualquiera de \(L/\theta\). Ya que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\) satisface la (I10), tenemos que \(x\mathsf{\;s\;}x^{c}=1\). O sea que \((x\mathsf{\;s\;}x^{c})/\theta=1/\theta\) y por lo tanto \(x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}x^{c}/\theta=1/\theta\). Pero por definición de \(^{\tilde{c}}\) tenemos que \((x/\theta)^{\tilde{c}}=x^{c}/\theta\), lo cual nos dice que \(x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}(x/\theta)^{\tilde{c}}=1/\theta\). Dejamos al lector ver que \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},^{\tilde{c}},0/\theta,1/\theta)\) satisface la identidad (I11)
(b) Por el Lema 5.18 tenemos que \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) cuyo núcleo es \(\theta\). Nótese que por definición de \(^{\tilde{c}}\) tenemos que \(x^{c}/\theta=(x/\theta)^{\tilde{c}}\), es decir \(\pi_{\theta}(x^{c})=(\pi_{\theta}(x))^{\tilde{c}}\), cualquiera sea \(x\in L\)
5.23. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},^{c^{\prime}},0^{\prime},1^{\prime})\) es un homomorfismo de reticulados complementados, entonces \(\ker(F)\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},^{c},0,1)\)
Proof. Ya que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) tenemos que por un lema anterior \(\ker(F)\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\). Es decir que solo falta probar que para todos \(x,y\in L\), se tiene que \(x/\ker(F)=y/\ker(F)\) implica \(x^{c}/\ker(F)=y^{c}/\ker(F)\), lo cual es dejado al lector