De la diversas propiedades de las operaciones \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) de un reticulado par \((L,\leq)\) distinguiremos las siguientes:
adhocprefix(I1)adhocsufix \(x\;\mathsf{s}\;x=x\mathsf{\;i\;}x=x\), cualesquiera sea \(x\in L\)
adhocprefix(I2)adhocsufix \(x\mathsf{\;s\;}y=y\;\mathsf{s}\;x\), cualesquiera sean \(x,y\in L\)
adhocprefix(I3)adhocsufix \(x\mathsf{\;i\;}y=y\mathsf{\;i\;}x\), cualesquiera sean \(x,y\in L\)
adhocprefix(I4)adhocsufix \((x\mathsf{\;s\;}y)\;\mathsf{s}\;z=x\;\mathsf{s}\;(y\;\mathsf{s}\;z)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in L\)
adhocprefix(I5)adhocsufix \((x\mathsf{\;i\;}y)\mathsf{\;i\;}z=x\mathsf{\;i\;}(y\mathsf{\;i\;}z)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in L\)
adhocprefix(I6)adhocsufix \(x\;\mathsf{s}\;(x\mathsf{\;i\;}y)=x\), cualesquiera sean \(x,y\in L\)
adhocprefix(I7)adhocsufix \(x\mathsf{\;i\;}(x\;\mathsf{s}\;y)=x\), cualesquiera sean \(x,y\in L\)
Podemos abstraernos y pensar que \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) son dos operaciones binarias cualesquiera sobre un conjunto \(L\) arbitrario y estudiar cuando se satisfacen y cuando no dichas propiedades. Por ejemplo si tomamos \(L=\mathbf{R}\) y \[\begin{array}{rcl} \mathsf{s}:\mathbf{R}^{2} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (a,b) & \rightarrow & a+b \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} \mathsf{i}:\mathbf{R}^{2} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (a,b) & \rightarrow & a.b \end{array}\] entonces se cumplen (I2), (I3), (I4) e (I5), pero (I1), (I6) e (I7) no se cumplen. Otro ejemplo, si tomamos \(L=\{1,2\}\) y \[\begin{array}{rcl} \mathsf{s}:\{1,2\}^{2} & \rightarrow & \{1,2\}\\ (1,1) & \rightarrow & 1\\ (1,2) & \rightarrow & 2\\ (2,1) & \rightarrow & 1\\ (2,2) & \rightarrow & 2 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} \mathsf{i}:\{1,2\}^{2} & \rightarrow & \{1,2\}\\ (1,1) & \rightarrow & 1\\ (1,2) & \rightarrow & 1\\ (2,1) & \rightarrow & 1\\ (2,2) & \rightarrow & 1 \end{array}\] entonces se cumplen (I3), (I4) e (I5), pero (I1), (I2), (I6) e (I7) no se cumplen. Un tercer ejemplo, si tomamos \(L=\mathbf{N}\) y \[\begin{array}{rcl} \mathsf{s}:\mathbf{N}^{2} & \rightarrow & \mathbf{N}\\ (a,b) & \rightarrow & \max\{a,b\} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} \mathsf{i}:\mathbf{N}^{2} & \rightarrow & \mathbf{N}\\ (a,b) & \rightarrow & \text{maximo comun divisor de }a\text{ y }b \end{array}\] entonces se cumplen (I1), (I2), (I3), (I4), (I5) e (I6), pero (I7) no se cumple. Por supuesto si \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) son las operaciones supremo e ínfimo dadas por algún orden parcial \(\leq\) sobre \(L\) el cual hace de \((L,\leq)\) un reticulado par, entonces las propiedades (I1),...,(I7) se cumplen y esto es justamente lo probado en la última serie de lemas. El último ejemplo nos permite ver una sutileza. Nótese que en este ejemplo \(\mathsf{s}\) es la operación supremo del reticulado par \((\mathbf{N},\leq)\), donde \(\leq\) es el orden usual de los naturales, e \(\mathsf{i}\) es la operación ínfimo del reticulado par \((\mathbf{N},|)\), donde \(|\) es el orden de la divisibilidad de los naturales. Sin embargo la última propiedad falla y esto se debe a que \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) son supremo e ínfimo pero respecto de distintos ordenes parciales.
Lo anterior motiva la siguiente definición:
Por un reticulado terna entenderemos una terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\), donde \(L\) es un conjunto no vacío y \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) son dos operaciones binarias sobre \(L\) para las cuales se cumplen (I1),...,(I7). Si \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un reticulado terna, llamaremos a \(L\) el universo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\).
Tal como lo vimos recién, las ternas dadas por los tres ejemplos anteriores no son reticulados terna ya que no cumplen alguna de las identidades (I1),...,(I7), y si tomamos un poset \((L,\leq)\) el cual sea un reticulado par, entonces la terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\), con \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) definidas como supremo e ínfimo, es un reticulado terna. El siguiente teorema muestra que todo reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) se obtiene de esta forma.
5.1 (Teorema de Dedekind). Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna. La relación binaria sobre \(L\) definida por \[\mathrm{\leq}=\{(x,y)\in L^{2}:x\;\mathsf{s}\;y=y\}\] es un orden parcial sobre \(L\) para el cual se cumple que: \[\begin{aligned} \sup(\{x,y\}) & =x\;\mathsf{s}\;y\\ \inf(\{x,y\}) & =x\mathsf{\;i\;}y \end{aligned}\] cualesquiera sean \(x,y\in L\)
Proof. Dejamos como ejercicio para el lector probar que \(\leq\) es reflexiva y antisimétrica con respecto a \(L\). Veamos que \(\leq\) es transitiva con respecto a \(L\). Supongamos que \(x\leq y\) e \(y\leq z\). Es decir que por definición de \(\leq\) tenemos que \[\begin{aligned} x\;\mathsf{s}\;y & =y\\ y\;\mathsf{s}\;z & =z \end{aligned}\] Entonces \[x\;\mathsf{s\;}z=x\;\mathsf{s\;}(y\;\mathsf{s\;}z)=(x\;\mathsf{s\;}y)\;\mathsf{s\;}z=y\;\mathsf{s\;}z=z\] por lo cual \(x\leq z\). O sea que ya sabemos que \((L,\leq)\) es un poset. Veamos ahora que \(\sup(\{x,y\})=x\;\mathsf{s\;}y\). Primero debemos ver que \(x\;\mathsf{s\;}y\) es una cota superior del conjunto \(\{x,y\}\), es decir \[\begin{aligned} x & \leq x\;\mathsf{s}\;y\\ y & \leq x\;\mathsf{s}\;y \end{aligned}\] Por la definición de \(\leq\) debemos probar que \[\begin{aligned} x\ \mathsf{s}\;(x\;\mathsf{s}\;y) & =x\;\mathsf{s}\;y\\ y\ \mathsf{s}\;(x\;\mathsf{s}\;y) & =x\;\mathsf{s}\;y \end{aligned}\] Estas igualdades se pueden probar usando (I1), (I2) y (I4). Dejamos al lector hacerlo como ejercicio. Nos falta ver entonces que \(x\;\mathsf{s\;}y\) es menor o igual que cualquier cota superior de \(\{x,y\}\). Supongamos \(x,y\leq z\). Es decir que por definición de \(\leq\) tenemos que \[\begin{aligned} x\;\mathsf{s}\;z & =z\\ y\;\mathsf{s}\;z & =z \end{aligned}\] Pero entonces \[(x\;\mathsf{s\;}y)\;\mathsf{s\;}z=x\;\mathsf{s\;}(y\;\mathsf{s\;}z)=x\;\mathsf{s\;}z=z\] por lo que \(x\;\mathsf{s\;}y\leq z\). Es decir que \(x\;\mathsf{s\;}y\) es la menor cota superior.
Para probar que \(\inf(\{x,y\})=x\mathsf{\;i\;}y\), probaremos que para todo \(u,v\in L\), \[u\leq v\text{ si y solo si }u\mathsf{\;i\;}v=u\] lo cual le permitirá al lector aplicar un razonamiento similar al usado en la prueba de que \(\sup(\{x,y\})=x\;\mathsf{s\;}y\). Supongamos que \(u\leq v\). Por definición tenemos que \(u\;\mathsf{s}\;v=v\). Entonces \[u\mathsf{\;i\;}v=u\mathsf{\;i\;}(u\;\mathsf{s}\;v)\] Pero por (I7) tenemos que \(u\mathsf{\;i\;}(u\;\mathsf{s}\;v)=u\), lo cual implica \(u\mathsf{\;i\;}v=u\). Recíprocamente si \(u\mathsf{\;i\;}v=u\), entonces \[\begin{aligned} u\;\mathsf{s}\;v & =(u\mathsf{\;i\;}v)\;\mathsf{s}\;v\\ & =v\;\mathsf{s}\;(u\mathsf{\;i\;}v)\text{ (por (I2))}\\ & =v\;\mathsf{s}\;(v\mathsf{\;i\;}u)\text{ (por (I3))}\\ & =v\text{ (por (I6))} \end{aligned}\] lo cual nos dice que \(u\leq v\).
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Use los resultados anteriores para definir una función \(\mathcal{F}\) de \(\{(L,\leq):(L,\leq)\) es un reticulado par\(\}\) en \(\{(L,\mathsf{s},\mathsf{i}):(L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un reticulado terna\(\}\) la cual sea biyectiva
Como vimos recién a nivel de información es lo mismo tener un reticulado par que un reticulado terna. Es decir, los dos conceptos pueden considerarse dos formas distintas de presentar la misma información. Muchas veces esta información es mas fácil de dar dando el poset ya que simplemente podemos dar su diagrama de Hasse y esto en general es una forma económica de dar las operaciones \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\).
Recordemos que algo similar sucedía con los conceptos equivalentes de relación de equivalencia y partición.
Como vimos el Teorema de Dedekind nos dice que un reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un objeto geométrico ya que si definimos \[\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{s}\;y=y\}\] entonces \(\leq\) es un orden parcial sobre \(L\) y las operaciones \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) resultan ser supremo e ínfimo respecto de este orden parcial. Llamaremos a \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{s}\;y=y\}\) el orden parcial asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y a \((L,\leq)\) el poset asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Nótese que también tenemos que \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{i}\;y=x\}\) (¿por que?).
Muchos conceptos definidos para posets ahora pueden aplicarse cuando tenemos un reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Por ejemplo, si decimos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) tiene elemento máximo, esto significara que el poset \((L,\leq)\) tiene elemento máximo. Otro ejemplo, si decimos que en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) se da que el supremo de un conjunto \(S\) es \(a\), nos estaremos refiriendo a que en su poset asociado \((L,\leq)\) se da que el supremo de \(S\) es \(a\). También hablaremos del diagrama de Hasse de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en referencia al diagrama de Hasse de su poset asociado \((L,\leq)\).
Usaremos las siguientes prácticas convenciones notacionales
Convención notacional 1: Si \(L\) es un conjunto no vacío cuyos elementos son conjuntos y \(L\) cumple la siguiente condición \[\text{Si }A,B\in L,\text{ entonces }A\cup B,A\cap B\in L\] entonces ciertas veces usaremos \(\cup\) (resp. \(\cap\)) para denotar la operación binaria sobre \(L\) dada por la unión (resp. la intersección). Es decir \(\cup\) e \(\cap\) denotarán las funciones \[\begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (A,B) & \rightarrow & A\cup B \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (A,B) & \rightarrow & A\cap B \end{array}\]
Convención notacional 2: Si \(L\) es un conjunto no vacío cuyos elementos son números reales entonces ciertas veces usaremos \(\max\) y \(\min\) para denotar las operaciones binarias sobre \(L\) dadas por \[\begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \max(a,b) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \min(a,b) \end{array}\]
Convención notacional 3: Si \(L\) es un conjunto no vacío cuyos elementos son números naturales y \(L\) cumple la siguiente condición \[\text{Si }a,b\in L,\text{ entonces }mcm(a,b),mcd(a,b)\in L\] entonces ciertas veces usaremos \(mcm\) y \(mcd\) para denotar las operaciones binarias sobre \(L\) dadas por \[\begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & mcm(a,b) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & mcd(a,b) \end{array}\]
Convención notacional 4: Si \(P\) es un conjunto no vacío contenido en \(\omega\), entonces escribiremos \((P,|)\) para denotar al poset \((P,\{(x,y)\in P^{2}:x|y\})\). Similarmente si \(P\) es un conjunto cuyos elementos son conjuntos, entonces escribiremos \((P,\subseteq)\) para denotar al poset \((P,\{(A,B)\in P^{2}:A\subseteq B\})\)
En virtud de las convenciones notacionales anteriores nótese que por ejemplo
\((\mathbf{R,}\max,\min)\)
\(([0,1]\mathbf{,}\max,\min)\)
\((\mathcal{P}(\mathbf{N}),\cup,\cap)\)
\((\{A\subseteq\mathbf{N}:A\) es finito\(\},\cup,\cap)\)
\((\mathbf{N},mcm,mcd)\)
\((\{1,2,3,6,12\},mcm,mcd)\)
denotan reticulados terna pero debería quedar claro que en los primeros dos ejemplos \(\max\) denota dos distintas operaciones. Análogamente sucede con \(\min\), \(\cup\), \(\cap\), \(mcm\) y \(mcd\). Similarmente
\((\mathbf{N,}|)\)
\((\{1,2,3,6,7\},|)\)
\((\{\{1\},\{1,7\},\{1,2,3\},\{16,99,65\}\},\subseteq)\)
\((\{A\subseteq\mathbf{N}:A\) es finito\(\},\subseteq)\)
denotan posets pero debería quedar claro que en los primeros dos ejemplos \(|\) denota dos distintos ordenes parciales. Análogamente sucede con \(\subseteq\)
Estas ambigüedades no nos traerán problemas si estamos atentos al contexto.
Si \(f\) es una operación \(n\)-aria sobre \(A\) y \(S\subseteq A\), entonces diremos que \(S\) es cerrado bajo \(f\) cuando se dé que \(f(a_{1},...,a_{n})\in S\), cada ves que \(a_{1},...,a_{n}\in S\). Nótese que si \(n=0\), entonces \(S\) es cerrado bajo \(f\) si y solo si \(f(\lozenge)\in S\).
Dados reticulados terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) diremos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un subreticulado terna de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) si se dan las siguientes condiciones
adhocprefix(1)adhocsufix \(L\subseteq L^{\prime}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(L\) es cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}^{\prime}\) e \(\mathsf{i}^{\prime}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(\mathsf{s}=\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\) y \(\mathsf{i}=\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\)
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna. Un conjunto \(S\subseteq L\) es llamado subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) si es no vacío y cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\). Es importante notar que si bien los conceptos de subreticulado terna y subuniverso están muy relacionados, se trata de conceptos diferentes ya que los subreticulados terna de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) son reticulados terna, es decir ternas y los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) son conjuntos, por lo cual no son ternas.
Es fácil de chequear que si \(S\) es un subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\), entonces \((S,\mathsf{s}\mathrm{\mid}_{S\times S},\mathsf{i}\mathrm{\mid}_{S\times S})\) es un subreticulado terna de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y que todo subreticulado terna de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) se obtiene en esta forma. Es decir, hay una biyección entre el conjunto de los subreticulados terna de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y el conjunto de los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) (cual es?). Dicho de manera mas rápida: los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) son ni mas ni menos que los universos de los subreticulados terna de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\).
Sean \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) reticulados terna. Una función \(F:L\rightarrow L^{\prime}\) será llamada un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) si para todo \(x,y\in L\) se cumple que \[\begin{aligned} F(x\mathsf{\;s\;}y) & =F(x)\;\mathsf{s}^{\prime}\ F(y)\\ F(x\mathsf{\;i\;}y) & =F(x)\;\mathsf{i}^{\prime}\ F(y). \end{aligned}\] Un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) será llamado isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime}\), \(\mathsf{i}^{\prime}\) \()\) cuando sea biyectivo y su inversa sea también un homomorfismo. Escribiremos \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\cong(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) cuando exista un isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\). Escribiremos "Sea \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i})\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) un homomorfismo" para expresar que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\). No hay que confundirse al leer esta notación y pensar que \(F\) es una función cuyo dominio es \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\), lo cual por otra parte no tiene sentido ya que el dominio de una función nunca puede ser una \(3\)-upla!
5.9. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i})\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) es un homomorfismo biyectivo, entonces \(F\) es un isomorfismo
Proof. Solo falta ver que \(F^{-1}\) es un homomorfismo. Sean \(F(x),F(y)\) dos elementos cualesquiera de \(L^{\prime}\). Tenemos que \[F^{-1}(F(x)\;\mathsf{s}^{\prime}\ F(y))=F^{-1}(F(x\mathsf{\;s\;}y))=x\mathsf{\;s\;}y=F^{-1}(F(x))\;\mathsf{s}\ F^{-1}(F(y))\]
5.10. Sean \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) reticulados terna y sea \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i})\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) un homomorfismo. Entonces \(I_{F}\) es un subuniverso de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\). Es decir que \(F\) es también un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((I_{F},\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}},\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}})\)
Proof. Ya que \(L\) es no vacío tenemos que \(I_{F}\) también es no vacío. Sean \(a,b\in I_{F}\). Sean \(x,y\in L\) tales que \(F(x)=a\) y \(F(y)=b\). Se tiene que \[\begin{aligned} a\;\mathsf{s}^{\prime}\ b & =F(x)\;\mathsf{s}^{\prime}\ F(y)=F(x\mathsf{\;s\;}y)\in I_{F}\\ a\;\mathsf{i}^{\prime}\ b & =F(x)\;\mathsf{i}^{\prime}\ F(y)=F(x\mathsf{\;i\;}y)\in I_{F} \end{aligned}\] por lo cual \(I_{F}\) es cerrada bajo \(\mathsf{s}^{\prime}\) e \(\mathsf{i}^{\prime}\).
5.11. Sean \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) reticulados terna y sean \((L\leq)\) y \((L^{\prime},\leq^{\prime})\) los posets asociados. Sea \(F:L\rightarrow L^{\prime}\) una función. Entonces \(F\) es un isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) si y solo si \(F\) es un isomorfismo de \((L,\leq)\) en \((L^{\prime},\leq^{\prime})\).
Proof. Supongamos \(F\) es un isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\). Sean \(x,y\in L\), tales que \(x\leq y\). Tenemos que \(y=x\mathsf{\;s\;}y\) por lo cual \(F(y)=F(x\mathsf{\;s\;}y)=F(x)\mathsf{\;s^{\prime}\;}F(y)\), produciendo \(F(x)\leq^{\prime}F(y)\). En forma similar se puede ver que \(F^{-1}\) es también un homomorfismo de \((L^{\prime},\leq^{\prime})\) en \((L,\leq)\). Si \(F\) es un isomorfismo de \((L,\leq)\) en \((L^{\prime},\leq^{\prime})\), entonces (g) y (h) del Lema 5.1 nos dicen que \(F\) y \(F^{-1}\) son homomorfismos (de reticulados terna terna) por lo cual \(F\) es un isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\).
adhocprefixEjercicio:adhocsufix Encontrar dos reticulados terna, \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\), tales que haya una función biyectiva de \(L\) en \(L^{\prime}\) que preserve orden pero no sea homomorfismo de reticulados terna.
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna. Una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) será una relación de equivalencia \(\theta\) sobre \(L\) la cual cumpla:
adhocprefix(1)adhocsufix \(x\theta x^{\prime}\) y \(y\theta y^{\prime}\) implica \((x\mathsf{\;s\;}y)\theta(x^{\prime}\mathsf{\;s\;}y^{\prime})\) y \((x\mathsf{\;i\;}y)\theta(x^{\prime}\mathsf{\;i\;}y^{\prime})\)
Gracias a esta condición podemos definir en forma inambigua sobre \(L/\theta\) dos operaciones binarias \(\mathsf{\tilde{s}}\) e \(\mathsf{\tilde{\imath}}\), de la siguiente manera: \[\begin{aligned} x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta & =(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\\ x/\theta\mathsf{\;\tilde{\imath}\;}y/\theta & =(x\mathsf{\;i\;}y)/\theta \end{aligned}\] Veamos algunos ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Consideremos el reticulado terna \((\{1,2,3,4,5\},\max,\min)\). O sea que aquí \(L=\{1,2,3,4,5\}\), \(\mathsf{s}\) es la operación \(\max\) sobre \(L\) y \(\mathsf{i}\) es la operación \(\min\) sobre \(L\). Sea \(\theta\) la relación de equivalencia sobre \(\{1,2,3,4,5,6\}\) dada por la partición \(\{\{1,2\},\{3\},\{4,5\}\}\). Se puede chequear que \(\theta\) es una congruencia, es decir satisface (1) de arriba. Nótese que \[\begin{aligned} L/\theta & =\{\{1,2\},\{3\},\{4,5\}\}\\ \mathsf{\tilde{s}\;} & =\widetilde{\max}:L/\theta\times L/\theta\rightarrow L/\theta\\ \mathsf{\tilde{\imath}\;} & =\widetilde{\min}:L/\theta\times L/\theta\rightarrow L/\theta \end{aligned}\] Por ejemplo tenemos que \[\{1,2\}\ \widetilde{\max}\ \{3\}=\{3\}\] ya que \(\{1,2\}\ \widetilde{\max}\ \{3\}=1/\theta\ \widetilde{\max}\ 3/\theta=(1\max3)/\theta=3/\theta=\{3\}\) (escribimos \(1\max3\) en lugar de \(\max(1,3)\)). Similarmente tenemos que \[\begin{aligned} \{4,5\}\ \widetilde{\max}\ \{3\} & =\{4,5\}\\ \{1,2\}\ \widetilde{\min}\ \{4,5\} & =\{1,2\} \end{aligned}\]
adhocprefix(E2)adhocsufix Consideremos el reticulado terna \((\{1,2,3,6\},mcm,mcd)\) (o sea el rombo) y sea \(\theta\) la relación de equivalencia dada por la partición \(\{\{1,2\},\{3\},\{6\}\}\) (haga un dibujo). Entonces \(\theta\) no es una congruencia sobre \((\{1,2,3,6\},mcm,mcd)\). Esto es ya que si tomamos \[\begin{aligned} x & =1\\ x^{\prime} & =2\\ y & =3\\ y^{\prime} & =3 \end{aligned}\] no se cumple la implicación de (1) de la definición de congruencia.
La terna \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\) es llamada el cociente de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) sobre \(\theta\) y la denotaremos con \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})/\theta\).
5.12. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna y sea \(\theta\) una congruencia de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Entonces \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\) es un reticulado terna.
Proof. Veamos que la estructura \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\) cumple (I4). Sean \(x/\theta\), \(y/\theta\), \(z/\theta\) elementos cualesquiera de \(L/\theta\). Tenemos que \[\begin{array}{ccl} (x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta)\;\mathsf{\tilde{s}}\;z/\theta & = & (x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\;\mathsf{\tilde{s}}\;z/\theta\\ & = & ((x\mathsf{\;s\;}y)\;\mathsf{s}\;z)/\theta\\ & = & (x\mathsf{\;s\;}(y\;\mathsf{s}\;z))/\theta\\ & = & x/\theta\;\mathsf{\tilde{s}}\;(y\;\mathsf{s}\;z)/\theta\\ & = & x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}(y/\theta\;\mathsf{\tilde{s}}\;z/\theta) \end{array}\] En forma similar se puede ver que la estructura \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\) cumple el resto de las identidades que definen reticulado terna.
Denotaremos con \(\tilde{\leq}\) al orden parcial asociado al reticulado terna \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\).
5.13. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna y sea \(\theta\) una congruencia de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Entonces: \[x/\theta\tilde{\leq}y/\theta\text{ sii }y\theta(x\mathsf{\;s\;}y)\] cualesquiera sean \(x,y\in L\).
Proof. Por definición de \(\tilde{\leq}\) tenemos que \(x/\theta\tilde{\leq}y/\theta\) sii \(y/\theta=x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta\). Pero \(x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta=(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\) (por definición de \(\mathsf{\tilde{s}}\)) por lo cual tenemos que \(x/\theta\tilde{\leq}y/\theta\) sii \(y/\theta=(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\).
5.1. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna en el cual hay un elemento máximo \(1\) (resp. mínimo \(0\)). Entonces si \(\theta\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\), \(1/\theta\) (resp. \(0/\theta\)) es un elemento máximo (resp. mínimo) de \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\).
Proof. Ya que \(1=x\mathsf{\;s\;}1\), para cada \(x\in L\), tenemos que \(1/\theta=(x\mathsf{\;s\;}1)/\theta\), para cada \(x\in L\), lo cual por el lema anterior nos dice que \(x/\theta\tilde{\leq}1/\theta\), para cada \(x\in L\).
El siguiente lema nos da una forma natural de encontrar congruencias (i.e. como núcleos de homomorfismos).
5.14. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i})\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) es un homomorfismo, entonces \(\ker(F)\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\).
Proof. Dejamos al lector ver que \(\ker(F)\) es una relación de equivalencia. Supongamos \(x\ker(F)x^{\prime}\) y \(y\ker(F)y^{\prime}\). Entonces \[F(x\mathsf{\;s\;}y)=F(x)\mathsf{\;s^{\prime}\;}F(y)=F(x^{\prime})\mathsf{\;s^{\prime}\;}F(y^{\prime})=F(x^{\prime}\mathsf{\;s\;}y^{\prime})\] lo cual nos dice que \((x\mathsf{\;s\;}y)\ker(F)(x^{\prime}\mathsf{\;s\;}y^{\prime})\). En forma similar tenemos que \((x\mathsf{\;i\;}y)\ker(F)(x^{\prime}\mathsf{\;i\;}y^{\prime})\).
Ya vimos que el núcleo de un homomorfismo es una congruencia. El siguiente lema muestra que toda congruencia es el núcleo de un homomorfismo.
5.15. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) un reticulado terna y sea \(\theta\) una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Entonces \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}})\). Además \(\ker(\pi_{\theta})=\theta\).
Proof. Sean \(x,y\in L\). Tenemos que \[\pi_{\theta}(x\mathsf{\;s\;}y)=(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta=x/\theta\mathsf{\;\tilde{s}\;}y/\theta=\pi_{\theta}(x)\mathsf{\;\tilde{s}\;}\pi_{\theta}(y)\] por lo cual \(\pi_{\theta}\) preserva la operación supremo. Para la operación ínfimo es similar.